Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 2 3 & 4 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для

a_{21}

$a_{21}$ — это определитель с удаленными строкой

2

$2$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент

a_{21}

$a_{21}$ на его алгебраическое дополнение.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для

a_{31}

$a_{31}$ — это определитель с удаленными строкой

3

$3$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент

a_{31}

$a_{31}$ на его алгебраическое дополнение.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 2

Умножим

0

$0$ на

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (6 - 4 \cdot 2) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

2 (6 - 8) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 (6 - 8) + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (6 - 8) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем

8

$8$ из

6

$6$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (1 \cdot 2 - 3 \cdot 2)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Этап 4.2.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

2

$2$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 (2 - 6)$

Этап 4.2.2

Вычтем

6

$6$ из

2

$2$ .

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4

$2 \cdot - 2 + 0 + 3 \cdot - 4$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим

2

$2$ на

- 2

$- 2$ .

- 4 + 0 + 3 \cdot - 4

$- 4 + 0 + 3 \cdot - 4$

Этап 5.1.2

Умножим

3

$3$ на

- 4

$- 4$ .

- 4 + 0 - 12

$- 4 + 0 - 12$

- 4 + 0 - 12

$- 4 + 0 - 12$

Этап 5.2

Добавим

- 4

$- 4$ и

0

$0$ .

- 4 - 12

$- 4 - 12$

Этап 5.3

Вычтем

12

$12$ из

- 4

$- 4$ .

- 16

$- 16$

- 16

$- 16$

Введите СВОЮ задачу