Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

Этап 4.2.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $4$ на $5$ .

$20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Этап 5.1.2

Умножим $- 3$ на $8$ .

$20 - 24 + 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

$20 - 24 + 1$

Этап 5.2

Вычтем $24$ из $20$ .

$- 4 + 1$

Этап 5.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$- 3$

Введите СВОЮ задачу