Линейная алгебра Примеры
{[123],[-2-30],[10-1]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣123⎤⎥⎦,⎡⎢⎣−2−30⎤⎥⎦,⎡⎢⎣10−1⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
Этап 1
Назначим множеству имя SS для использования в данной задаче.
S={[123],[-2-30],[10-1]}S=⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣123⎤⎥⎦,⎡⎢⎣−2−30⎤⎥⎦,⎡⎢⎣10−1⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
Этап 2
Составим матрицу, в которой строки будут представлять вектора, входящие в остов.
[123-2-3010-1]⎡⎢⎣123−2−3010−1⎤⎥⎦
Этап 3
Этап 3.1
Выполним операцию над строками R2=R2+2R1R2=R2+2R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
Этап 3.1.1
Выполним операцию над строками R2=R2+2R1R2=R2+2R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
[123-2+2⋅1-3+2⋅20+2⋅310-1]⎡⎢⎣123−2+2⋅1−3+2⋅20+2⋅310−1⎤⎥⎦
Этап 3.1.2
Упростим R2R2.
[12301610-1]⎡⎢⎣12301610−1⎤⎥⎦
[12301610-1]⎡⎢⎣12301610−1⎤⎥⎦
Этап 3.2
Выполним операцию над строками R3=R3-R1R3=R3−R1, чтобы сделать элемент в 3,13,1 равным 00.
Этап 3.2.1
Выполним операцию над строками R3=R3-R1R3=R3−R1, чтобы сделать элемент в 3,13,1 равным 00.
[1230161-10-2-1-3]⎡⎢⎣1230161−10−2−1−3⎤⎥⎦
Этап 3.2.2
Упростим R3R3.
[1230160-2-4]⎡⎢⎣1230160−2−4⎤⎥⎦
[1230160-2-4]⎡⎢⎣1230160−2−4⎤⎥⎦
Этап 3.3
Выполним операцию над строками R3=R3+2R2R3=R3+2R2, чтобы сделать элемент в 3,23,2 равным 00.
Этап 3.3.1
Выполним операцию над строками R3=R3+2R2R3=R3+2R2, чтобы сделать элемент в 3,23,2 равным 00.
[1230160+2⋅0-2+2⋅1-4+2⋅6]⎡⎢⎣1230160+2⋅0−2+2⋅1−4+2⋅6⎤⎥⎦
Этап 3.3.2
Упростим R3R3.
[123016008]⎡⎢⎣123016008⎤⎥⎦
[123016008]⎡⎢⎣123016008⎤⎥⎦
Этап 3.4
Умножим каждый элемент R3R3 на 1818, чтобы сделать значение в 3,33,3 равным 11.
Этап 3.4.1
Умножим каждый элемент R3R3 на 1818, чтобы сделать значение в 3,33,3 равным 11.
[123016080888]⎡⎢
⎢⎣123016080888⎤⎥
⎥⎦
Этап 3.4.2
Упростим R3R3.
[123016001]⎡⎢⎣123016001⎤⎥⎦
[123016001]⎡⎢⎣123016001⎤⎥⎦
Этап 3.5
Выполним операцию над строками R2=R2-6R3R2=R2−6R3, чтобы сделать элемент в 2,32,3 равным 00.
Этап 3.5.1
Выполним операцию над строками R2=R2-6R3R2=R2−6R3, чтобы сделать элемент в 2,32,3 равным 00.
[1230-6⋅01-6⋅06-6⋅1001]⎡⎢⎣1230−6⋅01−6⋅06−6⋅1001⎤⎥⎦
Этап 3.5.2
Упростим R2R2.
[123010001]⎡⎢⎣123010001⎤⎥⎦
[123010001]⎡⎢⎣123010001⎤⎥⎦
Этап 3.6
Выполним операцию над строками R1=R1-3R3R1=R1−3R3, чтобы сделать элемент в 1,31,3 равным 00.
Этап 3.6.1
Выполним операцию над строками R1=R1-3R3R1=R1−3R3, чтобы сделать элемент в 1,31,3 равным 00.
[1-3⋅02-3⋅03-3⋅1010001]⎡⎢⎣1−3⋅02−3⋅03−3⋅1010001⎤⎥⎦
Этап 3.6.2
Упростим R1R1.
[120010001]⎡⎢⎣120010001⎤⎥⎦
[120010001]⎡⎢⎣120010001⎤⎥⎦
Этап 3.7
Выполним операцию над строками R1=R1-2R2R1=R1−2R2, чтобы сделать элемент в 1,21,2 равным 00.
Этап 3.7.1
Выполним операцию над строками R1=R1-2R2R1=R1−2R2, чтобы сделать элемент в 1,21,2 равным 00.
[1-2⋅02-2⋅10-2⋅0010001]⎡⎢⎣1−2⋅02−2⋅10−2⋅0010001⎤⎥⎦
Этап 3.7.2
Упростим R1R1.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
Этап 4
Преобразуем ненулевые строки в вектор-столбцы, чтобы сформировать базис.
{[100],[010],[001]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣100⎤⎥⎦,⎡⎢⎣010⎤⎥⎦,⎡⎢⎣001⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭