Линейная алгебра Примеры

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1

Назначим множеству имя $S$ для использования в данной задаче.

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 2

Составим матрицу, в которой строки будут представлять вектора, входящие в остов.

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.2

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Этап 3.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Этап 3.5

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

Этап 3.6

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{8}{7}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{8}{7}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]$

Этап 3.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.7

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.8

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.9

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Преобразуем ненулевые строки в вектор-столбцы, чтобы сформировать базис.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу