Линейная алгебра Примеры

[4233][4233]
Этап 1
Найдем собственные векторы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем собственные значения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения p(λ)p(λ).
p(λ)=определитель(A-λI2)p(λ)=определитель(AλI2)
Этап 1.1.2
Единичная матрица размера 22 представляет собой квадратную матрицу 2×22×2 с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
[1001][1001]
Этап 1.1.3
Подставим известное значение в p(λ)=определитель(A-λI2)p(λ)=определитель(AλI2).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Подставим [4233][4233] вместо AA.
p(λ)=определитель([4233]-λI2)p(λ)=определитель([4233]λI2)
Этап 1.1.3.2
Подставим [1001][1001] вместо I2I2.
p(λ)=определитель([4233]-λ[1001])p(λ)=определитель([4233]λ[1001])
p(λ)=определитель([4233]-λ[1001])p(λ)=определитель([4233]λ[1001])
Этап 1.1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1.1
Умножим -λλ на каждый элемент матрицы.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ1λ0λ0λ1])
Этап 1.1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1.2.1
Умножим -11 на 11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ-λ0-λ0-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λλ0λ0λ1])
Этап 1.1.4.1.2.2
Умножим -λ0λ0.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1.2.2.1
Умножим 00 на -11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0λ-λ0-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ0λλ0λ1])
Этап 1.1.4.1.2.2.2
Умножим 00 на λλ.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ0λ0λ1])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0-λ0-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ0λ0λ1])
Этап 1.1.4.1.2.3
Умножим -λ0λ0.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1.2.3.1
Умножим 00 на -11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00λ-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λλ1])
Этап 1.1.4.1.2.3.2
Умножим 00 на λλ.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λ1])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ1])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λ1])
Этап 1.1.4.1.2.4
Умножим -11 на 11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λ])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λ])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[λ00λ])
Этап 1.1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
p(λ)=определитель[4-λ2+03+03-λ]p(λ)=определитель[4λ2+03+03λ]
Этап 1.1.4.3
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.3.1
Добавим 22 и 00.
p(λ)=определитель[4-λ23+03-λ]p(λ)=определитель[4λ23+03λ]
Этап 1.1.4.3.2
Добавим 33 и 00.
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4λ233λ]
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4λ233λ]
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4λ233λ]
Этап 1.1.5
Найдем определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.1
Определитель матрицы 2×22×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cbabcd=adcb.
p(λ)=(4-λ)(3-λ)-32p(λ)=(4λ)(3λ)32
Этап 1.1.5.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1.1
Развернем (4-λ)(3-λ)(4λ)(3λ), используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=4(3-λ)-λ(3-λ)-32p(λ)=4(3λ)λ(3λ)32
Этап 1.1.5.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=43+4(-λ)-λ(3-λ)-32p(λ)=43+4(λ)λ(3λ)32
Этап 1.1.5.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=43+4(-λ)-λ3-λ(-λ)-32p(λ)=43+4(λ)λ3λ(λ)32
p(λ)=43+4(-λ)-λ3-λ(-λ)-32p(λ)=43+4(λ)λ3λ(λ)32
Этап 1.1.5.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1.2.1.1
Умножим 44 на 33.
p(λ)=12+4(-λ)-λ3-λ(-λ)-32p(λ)=12+4(λ)λ3λ(λ)32
Этап 1.1.5.2.1.2.1.2
Умножим -11 на 44.
p(λ)=12-4λ-λ3-λ(-λ)-32p(λ)=124λλ3λ(λ)32
Этап 1.1.5.2.1.2.1.3
Умножим 33 на -11.
p(λ)=12-4λ-3λ-λ(-λ)-32p(λ)=124λ3λλ(λ)32
Этап 1.1.5.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
p(λ)=12-4λ-3λ-1-1λλ-32p(λ)=124λ3λ11λλ32
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5
Умножим λλ на λλ, сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.1
Перенесем λλ.
p(λ)=12-4λ-3λ-1-1(λλ)-32p(λ)=124λ3λ11(λλ)32
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.2
Умножим λλ на λλ.
p(λ)=12-4λ-3λ-1-1λ2-32p(λ)=124λ3λ11λ232
p(λ)=12-4λ-3λ-1-1λ2-32p(λ)=124λ3λ11λ232
Этап 1.1.5.2.1.2.1.6
Умножим -11 на -11.
p(λ)=12-4λ-3λ+1λ2-32p(λ)=124λ3λ+1λ232
Этап 1.1.5.2.1.2.1.7
Умножим λ2λ2 на 11.
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-32p(λ)=124λ3λ+λ232
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-32p(λ)=124λ3λ+λ232
Этап 1.1.5.2.1.2.2
Вычтем 3λ3λ из -4λ4λ.
p(λ)=12-7λ+λ2-32p(λ)=127λ+λ232
p(λ)=12-7λ+λ2-32p(λ)=127λ+λ232
Этап 1.1.5.2.1.3
Умножим -33 на 22.
p(λ)=12-7λ+λ2-6p(λ)=127λ+λ26
p(λ)=12-7λ+λ2-6p(λ)=127λ+λ26
Этап 1.1.5.2.2
Вычтем 66 из 1212.
p(λ)=-7λ+λ2+6p(λ)=7λ+λ2+6
Этап 1.1.5.2.3
Изменим порядок -7λ7λ и λ2λ2.
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ27λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ27λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ27λ+6
Этап 1.1.6
Примем характеристический многочлен равным 00, чтобы найти собственные значения λλ.
λ2-7λ+6=0λ27λ+6=0
Этап 1.1.7
Решим относительно λλ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.1
Разложим λ2-7λ+6λ27λ+6 на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.1.1
Рассмотрим форму x2+bx+cx2+bx+c. Найдем пару целых чисел, произведение которых равно cc, а сумма — bb. В данном случае произведение чисел равно 66, а сумма — -77.
-6,-16,1
Этап 1.1.7.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
(λ-6)(λ-1)=0(λ6)(λ1)=0
(λ-6)(λ-1)=0(λ6)(λ1)=0
Этап 1.1.7.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 00, все выражение равно 00.
λ-6=0λ6=0
λ-1=0λ1=0
Этап 1.1.7.3
Приравняем λ-6λ6 к 00, затем решим относительно λλ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.3.1
Приравняем λ-6λ6 к 00.
λ-6=0λ6=0
Этап 1.1.7.3.2
Добавим 66 к обеим частям уравнения.
λ=6λ=6
λ=6λ=6
Этап 1.1.7.4
Приравняем λ-1λ1 к 00, затем решим относительно λλ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.4.1
Приравняем λ-1λ1 к 00.
λ-1=0λ1=0
Этап 1.1.7.4.2
Добавим 11 к обеим частям уравнения.
λ=1λ=1
λ=1λ=1
Этап 1.1.7.5
Окончательным решением являются все значения, при которых (λ-6)(λ-1)=0(λ6)(λ1)=0 верно.
λ=6,1λ=6,1
λ=6,1λ=6,1
λ=6,1λ=6,1
Этап 1.2
Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где NN — это нулевое пространство, а II — единичная матрица.
εA=N(A-λI2)εA=N(AλI2)
Этап 1.3
Найдем собственный вектор, используя собственное значение λ=6λ=6.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим известные значения в формулу.
N([4233]-6[1001])N([4233]6[1001])
Этап 1.3.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1.1
Умножим -66 на каждый элемент матрицы.
[4233]+[-61-60-60-61][4233]+[61606061]
Этап 1.3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1.2.1
Умножим -66 на 11.
[4233]+[-6-60-60-61][4233]+[6606061]
Этап 1.3.2.1.2.2
Умножим -66 на 00.
[4233]+[-60-60-61][4233]+[606061]
Этап 1.3.2.1.2.3
Умножим -66 на 00.
[4233]+[-600-61][4233]+[60061]
Этап 1.3.2.1.2.4
Умножим -66 на 11.
[4233]+[-600-6][4233]+[6006]
[4233]+[-600-6][4233]+[6006]
[4233]+[-600-6][4233]+[6006]
Этап 1.3.2.2
Сложим соответствующие элементы.
[4-62+03+03-6][462+03+036]
Этап 1.3.2.3
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.3.1
Вычтем 66 из 44.
[-22+03+03-6][22+03+036]
Этап 1.3.2.3.2
Добавим 22 и 00.
[-223+03-6][223+036]
Этап 1.3.2.3.3
Добавим 33 и 00.
[-2233-6][22336]
Этап 1.3.2.3.4
Вычтем 66 из 33.
[-223-3][2233]
[-223-3][2233]
[-223-3][2233]
Этап 1.3.3
Найдем нуль-пространство, когда λ=6λ=6.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для Ax=0Ax=0.
[-2203-30][220330]
Этап 1.3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
Умножим каждый элемент R1R1 на -1212, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1.1
Умножим каждый элемент R1R1 на -1212, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
[-12-2-122-1203-30][122122120330]
Этап 1.3.3.2.1.2
Упростим R1R1.
[1-103-30][110330]
[1-103-30][110330]
Этап 1.3.3.2.2
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R23R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.2.1
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R23R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
[1-103-31-3-3-10-30][110331331030]
Этап 1.3.3.2.2.2
Упростим R2R2.
[1-10000][110000]
[1-10000][110000]
[1-10000][110000]
Этап 1.3.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
x-y=0xy=0
0=00=0
Этап 1.3.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
[xy]=[yy][xy]=[yy]
Этап 1.3.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
[xy]=y[11][xy]=y[11]
Этап 1.3.3.6
Запишем в виде множества решений.
{y[11]|yR}{y[11]yR}
Этап 1.3.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
{[11]}{[11]}
{[11]}{[11]}
{[11]}{[11]}
Этап 1.4
Найдем собственный вектор, используя собственное значение λ=1λ=1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Подставим известные значения в формулу.
N([4233]-[1001])N([4233][1001])
Этап 1.4.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Вычтем соответствующие элементы.
[4-12-03-03-1][41203031]
Этап 1.4.2.2
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1
Вычтем 11 из 44.
[32-03-03-1][3203031]
Этап 1.4.2.2.2
Вычтем 00 из 22.
[323-03-1][323031]
Этап 1.4.2.2.3
Вычтем 00 из 33.
[3233-1][32331]
Этап 1.4.2.2.4
Вычтем 11 из 33.
[3232][3232]
[3232][3232]
[3232][3232]
Этап 1.4.3
Найдем нуль-пространство, когда λ=1λ=1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для Ax=0Ax=0.
[320320][320320]
Этап 1.4.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.2.1
Умножим каждый элемент R1R1 на 1313, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.2.1.1
Умножим каждый элемент R1R1 на 1313, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
[332303320][332303320]
Этап 1.4.3.2.1.2
Упростим R1R1.
[1230320][1230320]
[1230320][1230320]
Этап 1.4.3.2.2
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R23R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.2.2.1
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R23R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
[12303-312-3(23)0-30]123033123(23)030
Этап 1.4.3.2.2.2
Упростим R2R2.
[1230000][1230000]
[1230000][1230000]
[1230000][1230000]
Этап 1.4.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
x+23y=0x+23y=0
0=00=0
Этап 1.4.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
[xy]=[-2y3y][xy]=[2y3y]
Этап 1.4.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
[xy]=y[-231][xy]=y[231]
Этап 1.4.3.6
Запишем в виде множества решений.
{y[-231]|yR}{y[231]∣ ∣yR}
Этап 1.4.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
{[-231]}{[231]}
{[-231]}{[231]}
{[-231]}{[231]}
Этап 1.5
Собственное пространство AA является списком векторных пространств для каждого собственного значения.
{[11],[-231]}{[11],[231]}
{[11],[-231]}{[11],[231]}
Этап 2
Определим PP как матрицу собственных векторов.
P=[1-2311]P=[12311]
Этап 3
Найдем матрицу, обратную PP.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Обратную матрицу 2×22×2 можно найти, используя формулу 1ad-bc[d-b-ca]1adbc[dbca], где ad-bcadbc является определителем.
Этап 3.2
Найдем определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Определитель матрицы 2×22×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cbabcd=adcb.
11--231123
Этап 3.2.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1.1
Умножим 11 на 11.
1--23123
Этап 3.2.2.1.2
Умножим --2323.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1.2.1
Умножим -11 на -11.
1+1(23)1+1(23)
Этап 3.2.2.1.2.2
Умножим 2323 на 11.
1+231+23
1+231+23
1+231+23
Этап 3.2.2.2
Запишем 11 в виде дроби с общим знаменателем.
33+2333+23
Этап 3.2.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
3+233+23
Этап 3.2.2.4
Добавим 33 и 22.
5353
5353
5353
Этап 3.3
Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.
Этап 3.4
Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.
P-1=153[123-11]P1=153[12311]
Этап 3.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
P-1=1(35)[123-11]P1=1(35)[12311]
Этап 3.6
Умножим 3535 на 11.
P-1=35[123-11]P1=35[12311]
Этап 3.7
Умножим 3535 на каждый элемент матрицы.
P-1=[351352335-1351]P1=[3513523351351]
Этап 3.8
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.1
Умножим 3535 на 11.
P-1=[35352335-1351]P1=[353523351351]
Этап 3.8.2
Сократим общий множитель 33.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.1
Сократим общий множитель.
P-1=[35352335-1351]
Этап 3.8.2.2
Перепишем это выражение.
P-1=[3515235-1351]
P-1=[3515235-1351]
Этап 3.8.3
Объединим 15 и 2.
P-1=[352535-1351]
Этап 3.8.4
Умножим 35-1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.4.1
Объединим 35 и -1.
P-1=[35253-15351]
Этап 3.8.4.2
Умножим 3 на -1.
P-1=[3525-35351]
P-1=[3525-35351]
Этап 3.8.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
P-1=[3525-35351]
Этап 3.8.6
Умножим 35 на 1.
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
Этап 4
Найдем диагональную матрицу D с помощью преобразования подобия.
D=P-1AP
Этап 5
Подставим матрицы.
[3525-3535][4233][1-2311]
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Умножим [3525-3535][4233].
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна 2×2, а вторая — 2×2.
Этап 6.1.2
Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.
[354+253352+253-354+353-352+353][1-2311]
Этап 6.1.3
Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.
[185125-3535][1-2311]
[185125-3535][1-2311]
Этап 6.2
Умножим [185125-3535][1-2311].
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна 2×2, а вторая — 2×2.
Этап 6.2.2
Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.
[1851+1251185(-23)+1251-351+351-35(-23)+351]
Этап 6.2.3
Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.
[6001]
[6001]
[6001]
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.
 [x2  12  π  xdx ] 
AmazonPay