Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные векторы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.1.2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.2

Добавим

$3$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.5

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Развернем

$(4 - λ) (3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.2.1.1

Умножим

$4$ на

$3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.3

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.2.2

Вычтем

$3 λ$ из

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.1.5.2.1.3

Умножим

$- 3$ на

$2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Этап 1.1.5.2.2

Вычтем

$6$ из

$12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Этап 1.1.5.2.3

Изменим порядок

$- 7 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Этап 1.1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Этап 1.1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Разложим

$λ^{2} - 7 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Рассмотрим форму

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

$c$ , а сумма —

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

$6$ , а сумма —

$- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 1.1.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Этап 1.1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Этап 1.1.7.3

Приравняем

$λ - 6$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.3.1

Приравняем

$λ - 6$ к

$0$ .

$λ - 6 = 0$

Этап 1.1.7.3.2

Добавим

$6$ к обеим частям уравнения.

$λ = 6$

Этап 1.1.7.4

Приравняем

$λ - 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Приравняем

$λ - 1$ к

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 1.1.7.4.2

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 1.1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ верно.

$λ = 6, 1$

Этап 1.2

Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где

$N$ — это нулевое пространство, а

$I$ — единичная матрица.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 1.3

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим

$- 6$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.2

Умножим

$- 6$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.3

Умножим

$- 6$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.4

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Этап 1.3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Вычтем

$6$ из

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.2

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.3

Добавим

$3$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.4

Вычтем

$6$ из

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Этап 1.3.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Этап 1.3.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1.3.3.6

Запишем в виде множества решений.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 1.3.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1.4

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.2

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вычтем

$1$ из

$4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем

$0$ из

$2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.2.3

Вычтем

$0$ из

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.2.4

Вычтем

$1$ из

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 1.4.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Этап 1.4.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Запишем в виде множества решений.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 1.4.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1.5

Собственное пространство

$A$ является списком векторных пространств для каждого собственного значения.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 2

Определим

$P$ как матрицу собственных векторов.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Найдем матрицу, обратную

$P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Обратную матрицу

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где

$a d - b c$ является определителем.

Этап 3.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим

$- - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 2}{3}$

Этап 3.2.2.4

Добавим

$3$ и

$2$ .

$\frac{5}{3}$

Этап 3.3

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 3.4

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.6

Умножим

$\frac{3}{5}$ на

$1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.7

Умножим

$\frac{3}{5}$ на каждый элемент матрицы.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим

$\frac{3}{5}$ на

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.3

Объединим

$\frac{1}{5}$ и

$2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.4

Умножим

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Объединим

$\frac{3}{5}$ и

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.4.2

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.8.6

Умножим

$\frac{3}{5}$ на

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Этап 4

Найдем диагональную матрицу

$D$ с помощью преобразования подобия.

$D = P^{- 1} A P$

Этап 5

Подставим матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна

$2 \times 2$ , а вторая —

$2 \times 2$ .

Этап 6.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6.2

Умножим

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

$2 \times 2$ , а вторая —

$2 \times 2$ .

Этап 6.2.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 6.2.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу