Линейная алгебра Примеры
[4233][4233]
Этап 1
Этап 1.1
Найдем собственные значения.
Этап 1.1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения p(λ)p(λ).
p(λ)=определитель(A-λI2)p(λ)=определитель(A−λI2)
Этап 1.1.2
Единичная матрица размера 22 представляет собой квадратную матрицу 2×22×2 с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
[1001][1001]
Этап 1.1.3
Подставим известное значение в p(λ)=определитель(A-λI2)p(λ)=определитель(A−λI2).
Этап 1.1.3.1
Подставим [4233][4233] вместо AA.
p(λ)=определитель([4233]-λI2)p(λ)=определитель([4233]−λI2)
Этап 1.1.3.2
Подставим [1001][1001] вместо I2I2.
p(λ)=определитель([4233]-λ[1001])p(λ)=определитель([4233]−λ[1001])
p(λ)=определитель([4233]-λ[1001])p(λ)=определитель([4233]−λ[1001])
Этап 1.1.4
Упростим.
Этап 1.1.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.4.1.1
Умножим -λ−λ на каждый элемент матрицы.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 1.1.4.1.2.1
Умножим -1−1 на 11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2.2
Умножим -λ⋅0−λ⋅0.
Этап 1.1.4.1.2.2.1
Умножим 00 на -1−1.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ0λ−λ⋅0−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2.2.2
Умножим 00 на λλ.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2.3
Умножим -λ⋅0−λ⋅0.
Этап 1.1.4.1.2.3.1
Умножим 00 на -1−1.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00λ-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00λ−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2.3.2
Умножим 00 на λλ.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00−λ⋅1])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ⋅1])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00−λ⋅1])
Этап 1.1.4.1.2.4
Умножим -1−1 на 11.
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00−λ])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00−λ])
p(λ)=определитель([4233]+[-λ00-λ])p(λ)=определитель([4233]+[−λ00−λ])
Этап 1.1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
p(λ)=определитель[4-λ2+03+03-λ]p(λ)=определитель[4−λ2+03+03−λ]
Этап 1.1.4.3
Упростим каждый элемент.
Этап 1.1.4.3.1
Добавим 22 и 00.
p(λ)=определитель[4-λ23+03-λ]p(λ)=определитель[4−λ23+03−λ]
Этап 1.1.4.3.2
Добавим 33 и 00.
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4−λ233−λ]
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4−λ233−λ]
p(λ)=определитель[4-λ233-λ]p(λ)=определитель[4−λ233−λ]
Этап 1.1.5
Найдем определитель.
Этап 1.1.5.1
Определитель матрицы 2×22×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
p(λ)=(4-λ)(3-λ)-3⋅2p(λ)=(4−λ)(3−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2
Упростим определитель.
Этап 1.1.5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.5.2.1.1
Развернем (4-λ)(3-λ)(4−λ)(3−λ), используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.5.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=4(3-λ)-λ(3-λ)-3⋅2p(λ)=4(3−λ)−λ(3−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ(3-λ)-3⋅2p(λ)=4⋅3+4(−λ)−λ(3−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2p(λ)=4⋅3+4(−λ)−λ⋅3−λ(−λ)−3⋅2
p(λ)=4⋅3+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2p(λ)=4⋅3+4(−λ)−λ⋅3−λ(−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.5.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.5.2.1.2.1.1
Умножим 44 на 33.
p(λ)=12+4(-λ)-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2p(λ)=12+4(−λ)−λ⋅3−λ(−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.2
Умножим -1−1 на 44.
p(λ)=12-4λ-λ⋅3-λ(-λ)-3⋅2p(λ)=12−4λ−λ⋅3−λ(−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.3
Умножим 33 на -1−1.
p(λ)=12-4λ-3λ-λ(-λ)-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ−λ(−λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ⋅λ-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ−1⋅−1λ⋅λ−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5
Умножим λλ на λλ, сложив экспоненты.
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.1
Перенесем λλ.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1(λ⋅λ)-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ−1⋅−1(λ⋅λ)−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.5.2
Умножим λλ на λλ.
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ2-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ−1⋅−1λ2−3⋅2
p(λ)=12-4λ-3λ-1⋅-1λ2-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ−1⋅−1λ2−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.6
Умножим -1−1 на -1−1.
p(λ)=12-4λ-3λ+1λ2-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ+1λ2−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.1.7
Умножим λ2λ2 на 11.
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ+λ2−3⋅2
p(λ)=12-4λ-3λ+λ2-3⋅2p(λ)=12−4λ−3λ+λ2−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.2.2
Вычтем 3λ3λ из -4λ−4λ.
p(λ)=12-7λ+λ2-3⋅2p(λ)=12−7λ+λ2−3⋅2
p(λ)=12-7λ+λ2-3⋅2p(λ)=12−7λ+λ2−3⋅2
Этап 1.1.5.2.1.3
Умножим -3−3 на 22.
p(λ)=12-7λ+λ2-6p(λ)=12−7λ+λ2−6
p(λ)=12-7λ+λ2-6p(λ)=12−7λ+λ2−6
Этап 1.1.5.2.2
Вычтем 66 из 1212.
p(λ)=-7λ+λ2+6p(λ)=−7λ+λ2+6
Этап 1.1.5.2.3
Изменим порядок -7λ−7λ и λ2λ2.
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ2−7λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ2−7λ+6
p(λ)=λ2-7λ+6p(λ)=λ2−7λ+6
Этап 1.1.6
Примем характеристический многочлен равным 00, чтобы найти собственные значения λλ.
λ2-7λ+6=0λ2−7λ+6=0
Этап 1.1.7
Решим относительно λλ.
Этап 1.1.7.1
Разложим λ2-7λ+6λ2−7λ+6 на множители, используя метод группировки.
Этап 1.1.7.1.1
Рассмотрим форму x2+bx+cx2+bx+c. Найдем пару целых чисел, произведение которых равно cc, а сумма — bb. В данном случае произведение чисел равно 66, а сумма — -7−7.
-6,-1−6,−1
Этап 1.1.7.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
(λ-6)(λ-1)=0(λ−6)(λ−1)=0
(λ-6)(λ-1)=0(λ−6)(λ−1)=0
Этап 1.1.7.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 00, все выражение равно 00.
λ-6=0λ−6=0
λ-1=0λ−1=0
Этап 1.1.7.3
Приравняем λ-6λ−6 к 00, затем решим относительно λλ.
Этап 1.1.7.3.1
Приравняем λ-6λ−6 к 00.
λ-6=0λ−6=0
Этап 1.1.7.3.2
Добавим 66 к обеим частям уравнения.
λ=6λ=6
λ=6λ=6
Этап 1.1.7.4
Приравняем λ-1λ−1 к 00, затем решим относительно λλ.
Этап 1.1.7.4.1
Приравняем λ-1λ−1 к 00.
λ-1=0λ−1=0
Этап 1.1.7.4.2
Добавим 11 к обеим частям уравнения.
λ=1λ=1
λ=1λ=1
Этап 1.1.7.5
Окончательным решением являются все значения, при которых (λ-6)(λ-1)=0(λ−6)(λ−1)=0 верно.
λ=6,1λ=6,1
λ=6,1λ=6,1
λ=6,1λ=6,1
Этап 1.2
Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где NN — это нулевое пространство, а II — единичная матрица.
εA=N(A-λI2)εA=N(A−λI2)
Этап 1.3
Найдем собственный вектор, используя собственное значение λ=6λ=6.
Этап 1.3.1
Подставим известные значения в формулу.
N([4233]-6[1001])N([4233]−6[1001])
Этап 1.3.2
Упростим.
Этап 1.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.3.2.1.1
Умножим -6−6 на каждый элемент матрицы.
[4233]+[-6⋅1-6⋅0-6⋅0-6⋅1][4233]+[−6⋅1−6⋅0−6⋅0−6⋅1]
Этап 1.3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 1.3.2.1.2.1
Умножим -6−6 на 11.
[4233]+[-6-6⋅0-6⋅0-6⋅1][4233]+[−6−6⋅0−6⋅0−6⋅1]
Этап 1.3.2.1.2.2
Умножим -6−6 на 00.
[4233]+[-60-6⋅0-6⋅1][4233]+[−60−6⋅0−6⋅1]
Этап 1.3.2.1.2.3
Умножим -6−6 на 00.
[4233]+[-600-6⋅1][4233]+[−600−6⋅1]
Этап 1.3.2.1.2.4
Умножим -6−6 на 11.
[4233]+[-600-6][4233]+[−600−6]
[4233]+[-600-6][4233]+[−600−6]
[4233]+[-600-6][4233]+[−600−6]
Этап 1.3.2.2
Сложим соответствующие элементы.
[4-62+03+03-6][4−62+03+03−6]
Этап 1.3.2.3
Упростим каждый элемент.
Этап 1.3.2.3.1
Вычтем 66 из 44.
[-22+03+03-6][−22+03+03−6]
Этап 1.3.2.3.2
Добавим 22 и 00.
[-223+03-6][−223+03−6]
Этап 1.3.2.3.3
Добавим 33 и 00.
[-2233-6][−2233−6]
Этап 1.3.2.3.4
Вычтем 66 из 33.
[-223-3][−223−3]
[-223-3][−223−3]
[-223-3][−223−3]
Этап 1.3.3
Найдем нуль-пространство, когда λ=6λ=6.
Этап 1.3.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для Ax=0Ax=0.
[-2203-30][−2203−30]
Этап 1.3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 1.3.3.2.1
Умножим каждый элемент R1R1 на -12−12, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
Этап 1.3.3.2.1.1
Умножим каждый элемент R1R1 на -12−12, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
[-12⋅-2-12⋅2-12⋅03-30][−12⋅−2−12⋅2−12⋅03−30]
Этап 1.3.3.2.1.2
Упростим R1R1.
[1-103-30][1−103−30]
[1-103-30][1−103−30]
Этап 1.3.3.2.2
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R2−3R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
Этап 1.3.3.2.2.1
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R2−3R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
[1-103-3⋅1-3-3⋅-10-3⋅0][1−103−3⋅1−3−3⋅−10−3⋅0]
Этап 1.3.3.2.2.2
Упростим R2R2.
[1-10000][1−10000]
[1-10000][1−10000]
[1-10000][1−10000]
Этап 1.3.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
x-y=0x−y=0
0=00=0
Этап 1.3.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
[xy]=[yy][xy]=[yy]
Этап 1.3.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
[xy]=y[11][xy]=y[11]
Этап 1.3.3.6
Запишем в виде множества решений.
{y[11]|y∈R}{y[11]∣∣∣y∈R}
Этап 1.3.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
{[11]}{[11]}
{[11]}{[11]}
{[11]}{[11]}
Этап 1.4
Найдем собственный вектор, используя собственное значение λ=1λ=1.
Этап 1.4.1
Подставим известные значения в формулу.
N([4233]-[1001])N([4233]−[1001])
Этап 1.4.2
Упростим.
Этап 1.4.2.1
Вычтем соответствующие элементы.
[4-12-03-03-1][4−12−03−03−1]
Этап 1.4.2.2
Упростим каждый элемент.
Этап 1.4.2.2.1
Вычтем 11 из 44.
[32-03-03-1][32−03−03−1]
Этап 1.4.2.2.2
Вычтем 00 из 22.
[323-03-1][323−03−1]
Этап 1.4.2.2.3
Вычтем 00 из 33.
[3233-1][3233−1]
Этап 1.4.2.2.4
Вычтем 11 из 33.
[3232][3232]
[3232][3232]
[3232][3232]
Этап 1.4.3
Найдем нуль-пространство, когда λ=1λ=1.
Этап 1.4.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для Ax=0Ax=0.
[320320][320320]
Этап 1.4.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 1.4.3.2.1
Умножим каждый элемент R1R1 на 1313, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
Этап 1.4.3.2.1.1
Умножим каждый элемент R1R1 на 1313, чтобы сделать значение в 1,11,1 равным 11.
[332303320][332303320]
Этап 1.4.3.2.1.2
Упростим R1R1.
[1230320][1230320]
[1230320][1230320]
Этап 1.4.3.2.2
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R2−3R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
Этап 1.4.3.2.2.1
Выполним операцию над строками R2=R2-3R1R2=R2−3R1, чтобы сделать элемент в 2,12,1 равным 00.
[12303-3⋅12-3(23)0-3⋅0]⎡⎢⎣12303−3⋅12−3(23)0−3⋅0⎤⎥⎦
Этап 1.4.3.2.2.2
Упростим R2R2.
[1230000][1230000]
[1230000][1230000]
[1230000][1230000]
Этап 1.4.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
x+23y=0x+23y=0
0=00=0
Этап 1.4.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
[xy]=[-2y3y][xy]=[−2y3y]
Этап 1.4.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
[xy]=y[-231][xy]=y[−231]
Этап 1.4.3.6
Запишем в виде множества решений.
{y[-231]|y∈R}{y[−231]∣∣
∣∣y∈R}
Этап 1.4.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
{[-231]}{[−231]}
{[-231]}{[−231]}
{[-231]}{[−231]}
Этап 1.5
Собственное пространство AA является списком векторных пространств для каждого собственного значения.
{[11],[-231]}{[11],[−231]}
{[11],[-231]}{[11],[−231]}
Этап 2
Определим PP как матрицу собственных векторов.
P=[1-2311]P=[1−2311]
Этап 3
Этап 3.1
Обратную матрицу 2×22×2 можно найти, используя формулу 1ad-bc[d-b-ca]1ad−bc[d−b−ca], где ad-bcad−bc является определителем.
Этап 3.2
Найдем определитель.
Этап 3.2.1
Определитель матрицы 2×22×2 можно найти, используя формулу |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
1⋅1--231⋅1−−23
Этап 3.2.2
Упростим определитель.
Этап 3.2.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.2.2.1.1
Умножим 11 на 11.
1--231−−23
Этап 3.2.2.1.2
Умножим --23−−23.
Этап 3.2.2.1.2.1
Умножим -1−1 на -1−1.
1+1(23)1+1(23)
Этап 3.2.2.1.2.2
Умножим 2323 на 11.
1+231+23
1+231+23
1+231+23
Этап 3.2.2.2
Запишем 11 в виде дроби с общим знаменателем.
33+2333+23
Этап 3.2.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
3+233+23
Этап 3.2.2.4
Добавим 33 и 22.
5353
5353
5353
Этап 3.3
Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.
Этап 3.4
Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.
P-1=153[123-11]P−1=153[123−11]
Этап 3.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
P-1=1(35)[123-11]P−1=1(35)[123−11]
Этап 3.6
Умножим 3535 на 11.
P-1=35[123-11]P−1=35[123−11]
Этап 3.7
Умножим 3535 на каждый элемент матрицы.
P-1=[35⋅135⋅2335⋅-135⋅1]P−1=[35⋅135⋅2335⋅−135⋅1]
Этап 3.8
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 3.8.1
Умножим 3535 на 11.
P-1=[3535⋅2335⋅-135⋅1]P−1=[3535⋅2335⋅−135⋅1]
Этап 3.8.2
Сократим общий множитель 33.
Этап 3.8.2.1
Сократим общий множитель.
P-1=[3535⋅2335⋅-135⋅1]
Этап 3.8.2.2
Перепишем это выражение.
P-1=[3515⋅235⋅-135⋅1]
P-1=[3515⋅235⋅-135⋅1]
Этап 3.8.3
Объединим 15 и 2.
P-1=[352535⋅-135⋅1]
Этап 3.8.4
Умножим 35⋅-1.
Этап 3.8.4.1
Объединим 35 и -1.
P-1=[35253⋅-1535⋅1]
Этап 3.8.4.2
Умножим 3 на -1.
P-1=[3525-3535⋅1]
P-1=[3525-3535⋅1]
Этап 3.8.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
P-1=[3525-3535⋅1]
Этап 3.8.6
Умножим 35 на 1.
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
P-1=[3525-3535]
Этап 4
Найдем диагональную матрицу D с помощью преобразования подобия.
D=P-1AP
Этап 5
Подставим матрицы.
[3525-3535][4233][1-2311]
Этап 6
Этап 6.1
Умножим [3525-3535][4233].
Этап 6.1.1
Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна 2×2, а вторая — 2×2.
Этап 6.1.2
Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.
[35⋅4+25⋅335⋅2+25⋅3-35⋅4+35⋅3-35⋅2+35⋅3][1-2311]
Этап 6.1.3
Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.
[185125-3535][1-2311]
[185125-3535][1-2311]
Этап 6.2
Умножим [185125-3535][1-2311].
Этап 6.2.1
Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна 2×2, а вторая — 2×2.
Этап 6.2.2
Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.
[185⋅1+125⋅1185(-23)+125⋅1-35⋅1+35⋅1-35(-23)+35⋅1]
Этап 6.2.3
Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.
[6001]
[6001]
[6001]