Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & 2 & 0 2 & 5 & 0 4 & - 1 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные векторы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.1.2

Единичная матрица размера

$3$ представляет собой квадратную матрицу

$3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.4

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.4.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.4.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.6

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.6.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.6.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.7

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.7.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.7.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.8

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.2.8.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.8.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.1.4.1.2.9

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.3

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.4

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.5

Добавим

$4$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.4.3.6

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 1.1.5

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

$3$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.1.5.1.3

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.4

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.5

Минор для

$a_{23}$ — это определитель с удаленными строкой

$2$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.6

Умножим элемент

$a_{23}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.7

Минор для

$a_{33}$ — это определитель с удаленными строкой

$3$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.8

Умножим элемент

$a_{33}$ на его алгебраическое дополнение.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.1.5.1.9

Сложим члены.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.1.5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.1.5.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.1.5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1.1

Развернем

$(5 - λ) (5 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим

$5$ на

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим

$5$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.2.2

Вычтем

$5 λ$ из

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Этап 1.1.5.4.2.1.3

Умножим

$- 2$ на

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Этап 1.1.5.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Этап 1.1.5.4.2.3

Изменим порядок

$- 10 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Этап 1.1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.1

Объединим противоположные члены в

$0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.1.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Этап 1.1.5.5.1.2

Добавим

$0$ и

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Этап 1.1.5.5.2

Развернем

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.3.1

Умножим

$- 10$ на

$4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.2

Умножим

$4$ на

$21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.3

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.3.3.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.3.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.3.3.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.3.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.5.3.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.6

Умножим

$- 1$ на

$- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Этап 1.1.5.5.3.7

Умножим

$21$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Этап 1.1.5.5.4

Добавим

$4 λ^{2}$ и

$10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Этап 1.1.5.5.5

Вычтем

$21 λ$ из

$- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Этап 1.1.5.5.6

Перенесем

$84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Этап 1.1.5.5.7

Перенесем

$- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Этап 1.1.5.5.8

Изменим порядок

$14 λ^{2}$ и

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Этап 1.1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Этап 1.1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Разложим

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

$\frac{p}{q}$ , где

$p$ — делитель константы, а

$q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.7.1.1.2

Найдем все комбинации

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Этап 1.1.7.1.1.3

Подставим

$3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно

$0$ , поэтому

$3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.3.1

Подставим

$3$ в многочлен.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.2

Возведем

$3$ в степень

$3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.3

Умножим

$- 1$ на

$27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.4

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.5

Умножим

$14$ на

$9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.6

Добавим

$- 27$ и

$126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.7

Умножим

$- 61$ на

$3$ .

$99 - 183 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.8

Вычтем

$183$ из

$99$ .

$- 84 + 84$

Этап 1.1.7.1.1.3.9

Добавим

$- 84$ и

$84$ .

$0$

Этап 1.1.7.1.1.4

Поскольку

$3$ — известный корень, разделим многочлен на

$λ - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Этап 1.1.7.1.1.5

Разделим

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ на

$λ - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

$λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Этап 1.1.7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Этап 1.1.7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Этап 1.1.7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Этап 1.1.7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$11 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Этап 1.1.7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Этап 1.1.7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$11 λ^{2} - 33 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Этап 1.1.7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Этап 1.1.7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- 28 λ$ на член с максимальной степенью в делителе

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- 28 λ + 84$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Этап 1.1.7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Этап 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Этап 1.1.7.1.1.6

Запишем

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ в виде набора множителей.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Этап 1.1.7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1.1

Для многочлена вида

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

$a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ , а сумма —

$b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель

$11$ из

$11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.1.1.2

Запишем

$11$ как

$4$ плюс

$7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

$- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Этап 1.1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Этап 1.1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Этап 1.1.7.3

Приравняем

$λ - 3$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.3.1

Приравняем

$λ - 3$ к

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 1.1.7.3.2

Добавим

$3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 1.1.7.4

Приравняем

$- λ + 4$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Приравняем

$- λ + 4$ к

$0$ .

$- λ + 4 = 0$

Этап 1.1.7.4.2

Решим

$- λ + 4 = 0$ относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.2.1

Вычтем

$4$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 4$

Этап 1.1.7.4.2.2

Разделим каждый член

$- λ = - 4$ на

$- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.2.2.1

Разделим каждый член

$- λ = - 4$ на

$- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.7.4.2.2.2.2

Разделим

$λ$ на

$1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.1.7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.2.2.3.1

Разделим

$- 4$ на

$- 1$ .

$λ = 4$

Этап 1.1.7.5

Приравняем

$λ - 7$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Приравняем

$λ - 7$ к

$0$ .

$λ - 7 = 0$

Этап 1.1.7.5.2

Добавим

$7$ к обеим частям уравнения.

$λ = 7$

Этап 1.1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ верно.

$λ = 3, 4, 7$

Этап 1.2

Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где

$N$ — это нулевое пространство, а

$I$ — единичная матрица.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 1.3

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим

$- 3$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.2

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.3

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.4

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.5

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.6

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.7

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.8

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.3.2.1.2.9

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Вычтем

$3$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.2

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.5

Вычтем

$3$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.7

Добавим

$4$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.8

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Этап 1.3.2.3.9

Вычтем

$3$ из

$4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.4

Заменим

$R_{3}$ на

$R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.5

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.5.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.6

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.3.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Этап 1.3.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Этап 1.3.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Этап 1.3.3.6

Запишем в виде множества решений.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 1.3.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1.4

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим

$- 4$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.3

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.4

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.5

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.6

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.7

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.8

Умножим

$- 4$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.4.2.1.2.9

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Вычтем

$4$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.2

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.5

Вычтем

$4$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.7

Добавим

$4$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.8

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Этап 1.4.2.3.9

Вычтем

$4$ из

$4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.1.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.2.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.3

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.3.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.3.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.4

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.4.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.4.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.5

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.5.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.2.5.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 1.4.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Запишем в виде множества решений.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 1.4.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1.5

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Умножим

$- 7$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Умножим

$- 7$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.2

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.3

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.4

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.5

Умножим

$- 7$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.6

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.7

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.8

Умножим

$- 7$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 1.5.2.1.2.9

Умножим

$- 7$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Вычтем

$7$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.2

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.4

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.5

Вычтем

$7$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.7

Добавим

$4$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.8

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Этап 1.5.2.3.9

Вычтем

$7$ из

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Этап 1.5.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.4

Заменим

$R_{3}$ на

$R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.5

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.5.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.6

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 1.5.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 1.5.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 1.5.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1.5.3.6

Запишем в виде множества решений.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 1.5.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 1.6

Собственное пространство

$A$ является списком векторных пространств для каждого собственного значения.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 2

Определим

$P$ как матрицу собственных векторов.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Найдем матрицу, обратную

$P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

$2$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.1.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 3.1.1.3

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.4

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.5

Минор для

$a_{22}$ — это определитель с удаленными строкой

$2$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.6

Умножим элемент

$a_{22}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.7

Минор для

$a_{32}$ — это определитель с удаленными строкой

$3$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.8

Умножим элемент

$a_{32}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.1.9

Сложим члены.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Этап 3.1.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Этап 3.1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Этап 3.1.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Этап 3.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Этап 3.1.4.2.3

Вычтем

$1$ из

$- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Этап 3.1.4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Этап 3.1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим

$- 1 (- \frac{2}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Этап 3.1.5.1.2

Умножим

$\frac{2}{5}$ на

$1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Этап 3.1.5.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Этап 3.1.5.3

Добавим

$0$ и

$\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Этап 3.2

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 3.3

Создадим матрицу

$3 \times 6$ , левая половина которой равна исходной матрице, а правая половина — ее единичной матрице.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- 5$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- 5$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Этап 3.4.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3.4.4

Заменим

$R_{3}$ на

$R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в

$2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.5

Умножим каждый элемент

$R_{3}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$3, 3$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{3}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$3, 3$ равным

$1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Этап 3.4.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.6

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.6.2

Упростим

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.7

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.7.2

Упростим

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.5

Правая половина матрицы, приведенной к стандартной форме, является обратной матрицей.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4

Найдем диагональную матрицу

$D$ с помощью преобразования подобия.

$D = P^{- 1} A P$

Этап 5

Подставим матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна

$3 \times 3$ , а вторая —

$3 \times 3$ .

Этап 6.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 6.2

Умножим

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

$3 \times 3$ , а вторая —

$3 \times 3$ .

Этап 6.2.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 6.2.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу