Линейная алгебра Примеры

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a + 3 b - 6 c 2 a + b + c a + 5 b + c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из

R^{3}

$ℝ^{3}$ в

R^{3}

$ℝ^{3}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для

S

$S$ .

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перегруппируем

x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6.2

Перегруппируем

2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6.3

Перегруппируем

x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Этап 8

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 9

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

S (p x) = T ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Этап 10

Вынесем

p

$p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим

p

$p$ на каждый элемент матрицы.

S (p x) = S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p a p b p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Этап 10.2

Применим данное преобразование к вектору.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) 2 (p a + p b + p c) (p a) + 5 (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перегруппируем

(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)

$(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p + 3 b p - 6 c p 2 (p a + p b + p c) (p a) + 5 (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3.2

Перегруппируем

2 (p a + p b + p c)

$2 (p a + p b + p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p + 3 b p - 6 c p 2 a p + 2 b p + 2 c p (p a) + 5 (p b) + p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3.3

Перегруппируем

(p a) + 5 (p b) + p c

$(p a) + 5 (p b) + p c$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p + 3 b p - 6 c p 2 a p + 2 b p + 2 c p a p + 5 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p + 3 b p - 6 c p 2 a p + 2 b p + 2 c p a p + 5 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4

Разложим каждый элемент матрицы на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разложим элемент

0, 0

$0, 0$ на множители, умножив на

a p + 3 b p - 6 c p

$a p + 3 b p - 6 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a + 3 b - 6 c) 2 a p + 2 b p + 2 c p a p + 5 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4.2

Разложим элемент

1, 0

$1, 0$ на множители, умножив на

2 a p + 2 b p + 2 c p

$2 a p + 2 b p + 2 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a + 3 b - 6 c) p (2 a + 2 b + 2 c) a p + 5 b p + c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4.3

Разложим элемент

2, 0

$2, 0$ на множители, умножив на

a p + 5 b p + c p

$a p + 5 b p + c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a + 3 b - 6 c) p (2 a + 2 b + 2 c) p (a + 5 b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a + 3 b - 6 c) p (2 a + 2 b + 2 c) p (a + 5 b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a + 3 b - 6 c) p (2 a + 2 b + 2 c) p (a + 5 b + c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

Этап 11

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

S ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Этап 12

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Этап 13

Применим данное преобразование к вектору.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 2 (0) + 0 + 0 (0) + 5 (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перегруппируем

(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0

$(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 2 (0) + 0 + 0 (0) + 5 (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14.2

Перегруппируем

2 (0) + 0 + 0

$2 (0) + 0 + 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 00 (0) + 5 (0) + 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14.3

Перегруппируем

(0) + 5 (0) + 0

$(0) + 5 (0) + 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 15

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Этап 16

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование

Введите СВОЮ задачу