Линейная алгебра Примеры

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{3}$ в $ℝ^{3}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перегруппируем $x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6.2

Перегруппируем $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6.3

Перегруппируем $x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Этап 8

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 9

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Этап 10

Вынесем $p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $p$ на каждый элемент матрицы.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Этап 10.2

Применим данное преобразование к вектору.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перегруппируем $(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3.2

Перегруппируем $2 (p a + p b + p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Этап 10.3.3

Перегруппируем $(p a) + 5 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4

Разложим каждый элемент матрицы на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разложим элемент $0, 0$ на множители, умножив на $a p + 3 b p - 6 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4.2

Разложим элемент $1, 0$ на множители, умножив на $2 a p + 2 b p + 2 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Этап 10.4.3

Разложим элемент $2, 0$ на множители, умножив на $a p + 5 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

Этап 11

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Этап 12

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

$S (0) = 0$

Этап 13

Применим данное преобразование к вектору.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перегруппируем $(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14.2

Перегруппируем $2 (0) + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Этап 14.3

Перегруппируем $(0) + 5 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 15

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

$S (0) = 0$

Этап 16

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование

Введите СВОЮ задачу