Линейная алгебра Примеры

A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]

$x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

Этап 1

Запишем в виде расширенной матрицы для

x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

Этап 2

Запишем в виде линейной системы уравнений.

8 = 3 x + 3 y

$8 = 3 x + 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем переменные в левую часть, а константы — в правую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем

3 x

$3 x$ из обеих частей уравнения.

8 - 3 x = 3 y

$8 - 3 x = 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Этап 3.1.1.2

Вычтем

3 y

$3 y$ из обеих частей уравнения.

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Этап 3.1.2

Вычтем

8

$8$ из обеих частей уравнения.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

Этап 3.1.3

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем

4 x

$4 x$ из обеих частей уравнения.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x = - y

$1 - 4 x = - y$

Этап 3.1.3.2

Добавим

y

$y$ к обеим частям уравнения.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

Этап 3.1.4

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

Этап 3.2

Запишем систему в виде матрицы.

[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 3.3.1.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

Этап 3.3.3

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

Этап 3.3.3.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Этап 3.3.4

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Этап 3.3.4.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

Этап 3.4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

x = \frac{11}{15}

$x = \frac{11}{15}$

y = \frac{29}{15}

$y = \frac{29}{15}$

Этап 3.5

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

Этап 3.6

Запишем в виде множества решений.

{[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу