Линейная алгебра Примеры

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Этап 1

Ядро преобразования — это множество векторов (прообраз), которые преобразуются в нулевой вектор.

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

Этап 2

Составим систему уравнений из векторного уравнения.

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

$a + 2 b + c = 0$

$2 a + b + 2 c = 0$

Этап 3

Запишем систему в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.2

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.5

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 4.6

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- \frac{5}{6}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- \frac{5}{6}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.7

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.8

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.9

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 6

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 7

Запишем в виде множества решений.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 8

Ядро $S$ представляет собой подпространство ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу