Линейная алгебра Примеры

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 8 & 1 & 10 - 6 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 \\ 8 & 1 & 10 \\ - 6 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Этап 1

Чтобы определить, являются ли столбцы в матрице линейно зависимыми, определим, имеет ли уравнение

A x = 0

$A x = 0$ любые нетривиальные решения.

Этап 2

Запишем в виде расширенной матрицы для

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 8 & 1 & 10 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 10 & 0 - 8 \cdot 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 10 & 0 - 8 \cdot 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 - 6 + 6 \cdot 1 & - 2 + 6 \cdot 2 & - 5 + 6 \cdot 10 & 0 + 6 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 2 + 6 \cdot 2 & - 5 + 6 \cdot 10 & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 0 & 10 & 55 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 0 & 10 & 55 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 70 & - \frac{1}{15} \cdot 0 0 & 10 & 55 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 70 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 0 & 10 & 55 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 0 & 10 & 55 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

Этап 3.4

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 55 - 10 (\frac{14}{3}) & 0 - 10 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 55 - 10 (\frac{14}{3}) & 0 - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 3.5

Умножим каждый элемент

R_{3}

$R_{3}$ на

\frac{3}{25}

$\frac{3}{25}$ , чтобы сделать значение в

3, 3

$3, 3$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим каждый элемент

R_{3}

$R_{3}$ на

$\frac{3}{25}$ , чтобы сделать значение в

$3, 3$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{3} & \frac{3}{25} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.6

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{14}{3} \cdot 0 & \frac{14}{3} - \frac{14}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.6.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.7

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 10 \cdot 0 & 2 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.7.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.8

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.8.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Запишем матрицу в виде системы линейных уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 5

Поскольку единственное решение для

$A x = 0$ является тривиальным, векторы линейно независимы.

Линейно независимые

Введите СВОЮ задачу