Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

$3$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Развернем

$(4 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.1

Умножим

$4$ на

$1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.2.2

Вычтем

$λ$ из

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Этап 1.5.2.1.3

Умножим

$- 3$ на

$2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Этап 1.5.2.2

Вычтем

$6$ из

$4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Этап 1.5.2.3

Изменим порядок

$- 5 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.7.2

Подставим значения

$a = 1$ ,

$b = - 5$ и

$c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Возведем

$- 5$ в степень

$2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.1.3

Добавим

$25$ и

$8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.7.3.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Этап 1.7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы записать

$4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Объединим

$4$ и

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.4.1

Умножим

$4$ на

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4.3

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.4.4

Вычтем

$5$ из

$8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Добавим

$3$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.9.2

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.9.3

Вычтем

$5$ из

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.10

Перепишем

$- 3$ в виде

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.11

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.12

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 3.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} + \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим

$- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы записать

$4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Объединим

$4$ и

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Умножим

$4$ на

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.3

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.4

Умножим

$- - \sqrt{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.4.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.4.2

Умножим

$\sqrt{33}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4.5

Вычтем

$5$ из

$8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим

$3$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9.2

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9.3

Умножим

$- - \sqrt{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.9.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9.3.2

Умножим

$\sqrt{33}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.9.4

Вычтем

$5$ из

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.10

Перепишем

$- 3$ в виде

$- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.11

Вынесем множитель

$- 1$ из

$\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.12

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Этап 4.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} - \frac{y \sqrt{33}}{6} \\ y \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу