Линейная алгебра Примеры

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера

$3$ представляет собой квадратную матрицу

$3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 5

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 5.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

Минор для

$a_{21}$ — это определитель с удаленными строкой

$2$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Умножим элемент

$a_{21}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

Минор для

$a_{31}$ — это определитель с удаленными строкой

$3$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Умножим элемент

$a_{31}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Сложим члены.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ (1 - λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.1.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.3

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим

$- λ + λ^{2}$ и

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.3

Изменим порядок

$- λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 (1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2) + 0$

Этап 5.4.2.2

Объединим противоположные члены в

$2 - 2 λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вычтем

$2$ из

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ + 0) + 0$

Этап 5.4.2.2.2

Добавим

$- 2 λ$ и

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ) + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим

$(2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$ и

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Развернем

$(2 - λ) (λ^{2} - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 2 (λ^{2} - λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.2

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.2.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.2.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.2.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.2.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.2.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.4

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.4.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.4.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.5

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.1.6

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.2.2

Добавим

$2 λ^{2}$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 (- 2 λ)$

Этап 5.5.2.3

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$

Этап 5.5.3

Объединим противоположные члены в

$3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Добавим

$- 2 λ$ и

$2 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Этап 5.5.3.2

Добавим

$3 λ^{2} - λ^{3}$ и

$0$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3}$

Этап 5.5.4

Изменим порядок

$3 λ^{2}$ и

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2}$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} = 0$

Этап 7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель

$- λ^{2}$ из

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель

$- λ^{2}$ из

$- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 3 λ^{2} = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель

$- λ^{2}$ из

$3 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 3 = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель

$- λ^{2}$ из

$- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 3)$ .

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

Этап 7.3

Приравняем

$λ^{2}$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем

$λ^{2}$ к

$0$ .

$λ^{2} = 0$

Этап 7.3.2

Решим

$λ^{2} = 0$ относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3.2.2

Упростим

$\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Перепишем

$0$ в виде

$0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \pm 0$

Этап 7.3.2.2.3

Плюс или минус

$0$ равно

$0$ .

$λ = 0$

Этап 7.4

Приравняем

$λ - 3$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем

$λ - 3$ к

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим

$3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$ верно.

$λ = 0, 3$

Введите СВОЮ задачу