Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера

2

$2$ представляет собой квадратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

[\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}]$ вместо

A

$A$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

- λ

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} 2 & 1 4 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 + 0 4 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

4

$4$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Вычтем

λ

$λ$ из

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{matrix} 2 - λ & 1 4 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 4 & - λ \end{array}]$

Этап 5

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = (2 - λ) (- λ) - 4 \cdot 1$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = 2 (- λ) - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1.1

Перенесем

λ

$λ$ .

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.1.2

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4.3

Умножим

λ^{2}

$λ^{2}$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 5.2.1.5

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} - 4$

Этап 5.2.2

Изменим порядок

- 2 λ

$- 2 λ$ и

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 4$

Введите СВОЮ задачу