Примеры

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Этап 1

Назначим имя каждому вектору.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Этап 2

Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Этап 3

Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Этап 4

Найдем ортогональный вектор ${v⃗}_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем ${v⃗}_{2}$ по этой формуле.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.2

Подставим $(0, 1, 1)$ вместо ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.3

Найдем ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Умножим $0$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим $1$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Этап 4.3.2

Найдем норму ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 4.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 4.3.2.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 4.3.3

Найдем проекцию ${u⃗}_{2}$ на ${u⃗}_{2}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.4

Подставим $2$ вместо ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.5

Подставим $\sqrt{3}$ вместо $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.6

Подставим $(1, 1, 1)$ вместо ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.4

Подставим проекцию.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.2

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Этап 4.5.8

Вычтем $2$ из $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5

Найдем ортогональный вектор ${v⃗}_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем ${v⃗}_{3}$ по этой формуле.

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Этап 5.2

Подставим $(0, 0, 1)$ вместо ${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Этап 5.3

Найдем ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Умножим $0$ на $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Этап 5.3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Этап 5.3.1.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Этап 5.3.2

Найдем норму ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 5.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 5.3.2.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 5.3.3

Найдем проекцию ${u⃗}_{3}$ на ${u⃗}_{3}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.4

Подставим $1$ вместо ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.5

Подставим $\sqrt{3}$ вместо $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.6

Подставим $(1, 1, 1)$ вместо ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4

Найдем ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.1

Умножим $0 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.1.2

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Этап 5.4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Этап 5.4.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4.2

Найдем норму ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.4.2.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 5.4.2.2.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.13

Добавим $4$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.15

Добавим $5$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 5.4.2.2.16

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.16.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 5.4.2.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.4.2.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.4.2.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.2.17

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.18

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.4.2.2.19.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.2.2.19.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.5

Найдем экспоненту.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.4.2.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.20.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 5.4.2.2.20.2

Умножим $2$ на $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 5.4.3

Найдем проекцию ${u⃗}_{3}$ на ${u⃗}_{3}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.4

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.5

Подставим $\frac{\sqrt{6}}{3}$ вместо $| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.6

Подставим $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ вместо ${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.3.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.3.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.3

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.4

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Этап 5.4.7.5.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.5

Подставим проекции.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.6.2

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.3

Умножим $- (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4.2.2

Разделим $0$ на $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.5

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.6

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.7

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.9.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10

Сократим общий множитель $- 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2.2

Сократим общий множитель.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2.3

Перепишем это выражение.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.12.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.6

Изменим порядок множителей в $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.7

Умножим $2$ на $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Этап 5.6.14

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.14.1

Вычтем $2$ из $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Этап 5.6.14.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Этап 5.6.15

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.15.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Этап 5.6.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Этап 5.6.15.2.2

Сократим общий множитель.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Этап 5.6.15.2.3

Перепишем это выражение.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Этап 6

Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Этап 7

Найдем единичный вектор $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , где ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор $v⃗$ , разделив его на норму $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 7.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 7.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 7.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Этап 7.3.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt{3}$

Этап 7.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Этап 7.5

Разделим каждый элемент в векторе на $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Этап 8

Найдем единичный вектор $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , где ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор $v⃗$ , разделив его на норму $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 8.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 8.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 8.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.13

Добавим $4$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 8.3.15

Добавим $5$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 8.3.16

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 8.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 8.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 8.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 8.3.17

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Этап 8.5

Разделим каждый элемент в векторе на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.4

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Этап 8.6.8

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Этап 9

Найдем единичный вектор $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ , где ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор $v⃗$ , разделив его на норму $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 9.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.4

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 9.3.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 9.3.10

Добавим $0$ и $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 9.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Этап 9.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Этап 9.3.13

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 9.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3.14

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.15

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 9.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 9.5

Разделим каждый элемент в векторе на $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.2

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.4

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Этап 9.6.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 10

Подставим известные значения.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Введите СВОЮ задачу