Примеры

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ,

x + y = 2

$x + y = 2$

Этап 1

Вычтем

y

$y$ из обеих частей уравнения.

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Этап 2

Заменим все вхождения

x

$x$ на

2 - y

$2 - y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения

x

$x$ в

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ на

2 - y

$2 - y$ .

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем

{(2 - y)}^{2}

${(2 - y)}^{2}$ в виде

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ .

6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим

y

$y$ на

y

$y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим

y

$y$ на

y

$y$ .

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим

y^{2}

$y^{2}$ на

1

$1$ .

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем

2 y

$2 y$ из

- 2 y

$- 2 y$ .

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Умножим

6

$6$ на

4

$4$ .

24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.1.5.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

6

$6$ .

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 2.2.1.2

Добавим

6 y^{2}

$6 y^{2}$ и

3 y^{2}

$3 y^{2}$ .

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ в

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем

12

$12$ из обеих частей уравнения.

24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.2

Вычтем

12

$12$ из

24

$24$ .

- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

- 24 y + 9 y^{2} + 12

$- 24 y + 9 y^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

- 24 y

$- 24 y$ .

3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель

3

$3$ из

9 y^{2}

$9 y^{2}$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель

3

$3$ из

12

$12$ .

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель

3

$3$ из

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель

3

$3$ из

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ .

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.2

Пусть

u = y

$u = y$ . Подставим

u

$u$ вместо

y

$y$ для всех.

3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12

$a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ , а сумма —

b = - 8

$b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель

- 8

$- 8$ из

- 8 u

$- 8 u$ .

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2.2

Запишем

- 8

$- 8$ как

- 2

$- 2$ плюс

- 6

$- 6$

3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

3 u - 2

$3 u - 2$ .

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Заменим все вхождения

u

$u$ на

y

$y$ .

3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

y - 2 = 0

$y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.5

Приравняем

3 y - 2

$3 y - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем

3 y - 2

$3 y - 2$ к

0

$0$ .

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2

Решим

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$ относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

3 y = 2

$3 y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член

3 y = 2

$3 y = 2$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член

3 y = 2

$3 y = 2$ на

3

$3$ .

\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим

$y$ на

$1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Этап 3.6

Приравняем

$y - 2$ к

$0$ , затем решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем

$y - 2$ к

$0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Этап 3.6.2

Добавим

$2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ верно.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Этап 4

Заменим все вхождения

$y$ на

$\frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения

$y$ в

$x = 2 - y$ на

$\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим

$2 - (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы записать

$2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.2

Объединим

$2$ и

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим

$2$ на

$3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.1.4.2

Вычтем

$2$ из

$6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Этап 5

Заменим все вхождения

$y$ на

$2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения

$y$ в

$x = 2 - y$ на

$2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим

$2 - (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Этап 5.2.1.2

Вычтем

$2$ из

$2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Форма уравнения:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу