Примеры

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

2

$2$ представляет собой квадратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

p (λ) = определитель (A - λ I_{2})

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ вместо

A

$A$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

- λ

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

0

$0$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = определитель ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

p (λ) = определитель [\begin{matrix} - 1 - λ & 2 + 0 - 6 + 0 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим

2

$2$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{matrix} - 1 - λ & 2 - 6 + 0 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

- 6

$- 6$ и

0

$0$ .

p (λ) = определитель [\begin{matrix} - 1 - λ & 2 - 6 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{matrix} - 1 - λ & 2 - 6 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = определитель [\begin{matrix} - 1 - λ & 2 - 6 & 6 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (- 1 - λ) (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = (- 1 - λ) (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Развернем

(- 1 - λ) (6 - λ)

$(- 1 - λ) (6 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = - 1 (6 - λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 1 (6 - λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

6

$6$ .

p (λ) = - 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.2

Умножим

- 1 (- λ)

$- 1 (- λ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 6 + 1 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + 1 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.2.2

Умножим

λ

$λ$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.3

Умножим

6

$6$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

λ

$λ$ .

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим

λ

$λ$ на

λ

$λ$ .

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.1.7

Умножим

λ^{2}

$λ^{2}$ на

1

$1$ .

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.2.2

Вычтем

6 λ

$6 λ$ из

λ

$λ$ .

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Этап 1.5.2.1.3

Умножим

- (- 6 \cdot 2)

$- (- 6 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.3.1

Умножим

- 6

$- 6$ на

2

$2$ .

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - - 12

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - - 12$

Этап 1.5.2.1.3.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 12

$- 12$ .

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12$

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12$

p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12$

Этап 1.5.2.2

Добавим

- 6

$- 6$ и

12

$12$ .

p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Этап 1.5.2.3

Изменим порядок

- 5 λ

$- 5 λ$ и

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

0

$0$ , чтобы найти собственные значения

λ

$λ$ .

λ^{2} - 5 λ + 6 = 0

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

λ

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим

λ^{2} - 5 λ + 6

$λ^{2} - 5 λ + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

6

$6$ , а сумма —

- 5

$- 5$ .

- 3, - 2

$- 3, - 2$

Этап 1.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(λ - 3) (λ - 2) = 0

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

(λ - 3) (λ - 2) = 0

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

λ - 3 = 0

$λ - 3 = 0$

λ - 2 = 0

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем

λ - 3

$λ - 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

λ

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем

λ - 3

$λ - 3$ к

0

$0$ .

λ - 3 = 0

$λ - 3 = 0$

Этап 1.7.3.2

Добавим

3

$3$ к обеим частям уравнения.

λ = 3

$λ = 3$

λ = 3

$λ = 3$

Этап 1.7.4

Приравняем

λ - 2

$λ - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

λ

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем

λ - 2

$λ - 2$ к

0

$0$ .

λ - 2 = 0

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

λ = 2

$λ = 2$

λ = 2

$λ = 2$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых

(λ - 3) (λ - 2) = 0

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$ верно.

λ = 3, 2

$λ = 3, 2$

λ = 3, 2

$λ = 3, 2$

λ = 3, 2

$λ = 3, 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = 3

$λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

N ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] - 3 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

- 3

$- 3$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 0 - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим

- 3

$- 3$ на

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 0 0 & - 3 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 0 0 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 0 0 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 3 & 0 0 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

[\begin{matrix} - 1 - 3 & 2 + 0 - 6 + 0 & 6 - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем

3

$3$ из

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} - 4 & 2 + 0 - 6 + 0 & 6 - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим

2

$2$ и

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 4 & 2 - 6 + 0 & 6 - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим

- 6

$- 6$ и

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 4 & 2 - 6 & 6 - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 6 - 3 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Вычтем

3

$3$ из

6

$6$ .

[\begin{matrix} - 4 & 2 - 6 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 4 & 2 - 6 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 4 & 2 - 6 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when

λ = 3

$λ = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{matrix} - 4 & 2 & 0 - 6 & 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 - 6 & 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 - 6 & 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 - 6 & 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 - 6 + 6 \cdot 1 & 3 + 6 (- \frac{1}{2}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 3 + 6 (- \frac{1}{2}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x - \frac{1}{2} y = 0

$x - \frac{1}{2} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{y}{2} y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = y [\begin{matrix} \frac{1}{2} 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

{y [\begin{matrix} \frac{1}{2} 1 \end{matrix}] ∣ ∣ ∣ ∣ y \in R}

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{1}{2} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = 2

$λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

N ([\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] - 2 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

- 2

$- 2$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

1

$1$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 & - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим

- 2

$- 2$ на

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 & 0 - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим

- 2

$- 2$ на

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 1 & 2 - 6 & 6 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 & 0 0 & - 2 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 1 - 2 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем

$2$ из

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим

$2$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим

$- 6$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 6 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Вычтем

$2$ из

$6$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{2}{3}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу