Примеры

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Этап 1

Добавим

5

$5$ к обеим частям уравнения.

3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Этап 2

Составим полный квадрат для

3 x^{2} - 6 x

$3 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 3

$a = 3$

b = - 6

$b = - 6$

c = 0

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель

- 6

$- 6$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 6

$- 6$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{3}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель

$- 3$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим

$- 1$ на

$1$ .

$d = - 1$

Этап 2.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем

$- 6$ в степень

$2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим

$36$ на

$12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$e = 0 - 3$

Этап 2.4.2.2

Вычтем

$3$ из

$0$ .

$e = - 3$

Этап 2.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Этап 3

Подставим

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ вместо

$3 x^{2} - 6 x$ в уравнение

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Этап 4

Перенесем

$- 3$ в правую часть уравнения, прибавив

$3$ к обеим частям.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Этап 5

Составим полный квадрат для

$4 y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель

$8$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 5.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем

$8$ в степень

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим

$64$ на

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 5.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$e = - 4$

Этап 5.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Этап 6

Подставим

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ вместо

$4 y^{2} + 8 y$ в уравнение

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Этап 7

Перенесем

$- 4$ в правую часть уравнения, прибавив

$4$ к обеим частям.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Этап 8

Упростим

$5 + 3 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим

$5$ и

$3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Этап 8.2

Добавим

$8$ и

$4$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Этап 9

Разделим каждый член на

$12$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

$1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Введите СВОЮ задачу