Примеры

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Этап 1

Запишем

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ в виде уравнения.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для

$- x^{2} - 5 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 2.1.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 2.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем

$- 5$ в степень

$2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим

$- - \frac{25}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.4.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Этап 2.1.4.2.1.4.2

Умножим

$\frac{25}{4}$ на

$1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Этап 2.1.4.2.2

Чтобы записать

$- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 2.1.4.2.3

Объединим

$- 5$ и

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 2.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Этап 2.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.1

Умножим

$- 5$ на

$4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Этап 2.1.4.2.5.2

Добавим

$- 20$ и

$25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Этап 2.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Этап 2.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Этап 4

Поскольку

$a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 5

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Этап 6

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель

$1$ и

$- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем

$1$ в виде

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{3}{2}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина:

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Фокус:

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Ось симметрии:

$x = - \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = \frac{3}{2}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу