Примеры

$| 3 x | - x^{2} = 1$

Этап 1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$| 3 x | = 1 + x^{2}$

Этап 2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 x = \pm (1 + x^{2})$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$3 x = 1 + x^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x - x^{2} = 1$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x - x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 3$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.10

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$3 x = - (1 + x^{2})$

Этап 3.11

Упростим $- (1 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x = - 1 \cdot 1 - x^{2}$

Этап 3.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x = - 1 - x^{2}$

Этап 3.12

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x + x^{2} = - 1$

Этап 3.13

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x + x^{2} + 1 = 0$

Этап 3.14

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.15

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.16.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.16.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.16.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.16.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.17

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.17.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.17.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.17.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.17.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.17.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.17.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.17.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Этап 3.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{5})}{2}$

Этап 3.17.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.18

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.18.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.18.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.18.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.18.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.18.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.18.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.18.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{5})}{2}$

Этап 3.18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{5})}{2}$

Этап 3.18.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.19

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.20

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 2.61803398 \dots, 0.38196601 \dots, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$

Введите СВОЮ задачу