Примеры

По заданным точкам ${\displaystyle C=(2,9,7)}$ и ${\displaystyle D=(3,3,3)}$ находим плоскость, содержащую точки ${\displaystyle A=(1,2,3)}$ и ${\displaystyle B=(2,5,6)}$ и параллельную прямой ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$. Для этого вычтем значения координат точки ${\displaystyle C}$ из координат точки ${\displaystyle D}$.

Заменим значения ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$, затем упростим, чтобы получить вектор направления ${\displaystyle V_{\mathrm{CD}}}$ для прямой ${\displaystyle \mathrm{CD}}$.

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, используя тот же метод.

Заменим значения ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$, затем упростим, чтобы получить вектор направления ${\displaystyle V_{\mathrm{AB}}}$ для прямой ${\displaystyle \mathrm{AB}}$.

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, с вектором направления ${\displaystyle V_{AB}}$. Чтобы эта плоскость была параллельна прямой ${\displaystyle CD}$, найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой ${\displaystyle CD}$. Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением ${\displaystyle V_{AB}}$x${\displaystyle V_{CD}}$, найдя определитель матрицы ${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_D-x_C& y_D-y_C& z_D-z_C\end{array}\right]}$.

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости ${\displaystyle \left(6\right)x+\left(7\right)y+(-9)z=-7}$.