Примеры

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

Этап 1

По заданным точкам

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ и

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ находим плоскость, содержащую точки

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ и

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ и параллельную прямой

CD

$CD$ .

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

Этап 2

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

C

$C$ и

D

$D$ . Для этого вычтем значения координат точки

C

$C$ из координат точки

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Этап 3

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{CD}

$V_{CD}$ для прямой

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

Этап 4

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

A

$A$ и

B

$B$ , используя тот же метод.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Этап 5

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{AB}

$V_{AB}$ для прямой

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

Этап 6

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки

A

$A$ и

B

$B$ , с вектором направления

V_{A B}

$V_{A B}$ . Чтобы эта плоскость была параллельна прямой

C D

$C D$ , найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой

C D

$C D$ . Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ , найдя определитель матрицы

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

Этап 7

Вычислим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 7.1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Этап 7.1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

Этап 7.1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.1.9

Сложим члены.

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим

$3$ на

$- 4$ .

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим

$- (- 6 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Умножим

$- 6$ на

$3$ .

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 18$ .

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.2

Добавим

$- 12$ и

$18$ .

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.2

Вычтем

$3$ из

$- 4$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Этап 7.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

Этап 7.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

Этап 7.4.2.2

Вычтем

$3$ из

$- 6$ .

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем

$6$ влево от

$i$ .

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

Этап 7.5.2

Умножим

$- 1$ на

$- 7$ .

$6 i + 7 j - 9 k$

Этап 8

Решим выражение

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ в точке

$A$ , так как она лежит на плоскости. Это позволит вычислить константу в уравнении плоскости.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим

$6$ на

$1$ .

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

Этап 8.1.2

Умножим

$7$ на

$2$ .

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

Этап 8.1.3

Умножим

$- 9$ на

$3$ .

$6 + 14 - 27$

Этап 8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим

$6$ и

$14$ .

$20 - 27$

Этап 8.2.2

Вычтем

$27$ из

$20$ .

$- 7$

Этап 9

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ .

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

Этап 10

Умножим

$- 9$ на

$z$ .

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

Введите СВОЮ задачу