Примеры

(2, 6, - 8)

$(2, 6, - 8)$ ,

(- 12, - 2, - 1)

$(- 12, - 2, - 1)$ ,

(- 2, 8, 9)

$(- 2, 8, 9)$ ,

(3, 0, 0)

$(3, 0, 0)$

Этап 1

По заданным точкам

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$ и

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$ находим плоскость, содержащую точки

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$ и

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$ и параллельную прямой

CD

$CD$ .

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$

Этап 2

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

C

$C$ и

D

$D$ . Для этого вычтем значения координат точки

C

$C$ из координат точки

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Этап 3

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{CD}

$V_{CD}$ для прямой

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Этап 4

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

A

$A$ и

B

$B$ , используя тот же метод.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Этап 5

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{AB}

$V_{AB}$ для прямой

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Этап 6

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки

A

$A$ и

B

$B$ , с вектором направления

V_{A B}

$V_{A B}$ . Чтобы эта плоскость была параллельна прямой

C D

$C D$ , найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой

C D

$C D$ . Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ , найдя определитель матрицы

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 8 & 7 5 & - 8 & - 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Этап 7

Вычислим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 7.1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Этап 7.1.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Этап 7.1.5

Минор для

a_{12}

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

2

$2$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Этап 7.1.6

Умножим элемент

a_{12}

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Этап 7.1.7

Минор для

a_{13}

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Этап 7.1.8

Умножим элемент

a_{13}

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.1.9

Сложим члены.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 8 & 7 - 8 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & 7 5 & - 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 8 5 & - 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим

$- 8$ на

$- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим

$- (- 8 \cdot 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Умножим

$- 8$ на

$7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.2

Добавим

$72$ и

$56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим

$- 14$ на

$- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим

$- 5$ на

$7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.2

Вычтем

$35$ из

$126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Этап 7.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Этап 7.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Умножим

$- 14$ на

$- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим

$- 5$ на

$- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Этап 7.4.2.2

Добавим

$112$ и

$40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем

$128$ влево от

$i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Этап 7.5.2

Умножим

$- 1$ на

$91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Этап 8

Решим выражение

$(128) x + (- 91) y + (152) z$ в точке

$A$ , так как она лежит на плоскости. Это позволит вычислить константу в уравнении плоскости.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим

$128$ на

$2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Этап 8.1.2

Умножим

$- 91$ на

$6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Этап 8.1.3

Умножим

$152$ на

$- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Этап 8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем

$546$ из

$256$ .

$- 290 - 1216$

Этап 8.2.2

Вычтем

$1216$ из

$- 290$ .

$- 1506$

Этап 9

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Этап 10

Умножим

$152$ на

$z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

Введите СВОЮ задачу