Конечная математика Примеры

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 5 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.1 \\ 17 & 0.3 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная $x$ принимает множество отдельных значений (таких как $0$ , $1$ , $2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность $P (x)$ каждому возможному значению $x$ . Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ .

1. Для каждого $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

$0.1$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.3

$0.2$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.4

$0.3$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.5

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.6

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.7

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.8

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

Этап 1.9

Сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Добавим $0.1$ и $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

Этап 1.9.2

Добавим $0.3$ и $0.3$ .

$0.6 + 0.1 + 0.3$

Этап 1.9.3

Добавим $0.6$ и $0.1$ .

$0.7 + 0.3$

Этап 1.9.4

Добавим $0.7$ и $0.3$ .

$1$

Этап 1.10

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

$u = 5 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $5$ на $0.1$ .

$u = 0.5 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Этап 3.2

Умножим $10$ на $0.2$ .

$u = 0.5 + 2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Этап 3.3

Умножим $13$ на $0.3$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

Этап 3.4

Умножим $16$ на $0.1$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 17 \cdot 0.3$

Этап 3.5

Умножим $17$ на $0.3$ .

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0.5$ и $2$ .

$u = 2.5 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

Этап 4.2

Добавим $2.5$ и $3.9$ .

$u = 6.4 + 1.6 + 5.1$

Этап 4.3

Добавим $6.4$ и $1.6$ .

$u = 8 + 5.1$

Этап 4.4

Добавим $8$ и $5.1$ .

$u = 13.1$

Этап 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Этап 6

Подставим известные значения.

${(5 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $13.1$ .

${(5 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.2

Вычтем $13.1$ из $5$ .

${(- 8.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.3

Возведем $- 8.1$ в степень $2$ .

$65.61 \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.4

Умножим $65.61$ на $0.1$ .

$6.561 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $13.1$ .

$6.561 + {(10 - 13.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.6

Вычтем $13.1$ из $10$ .

$6.561 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.7

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$6.561 + 9.61 \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.8

Умножим $9.61$ на $0.2$ .

$6.561 + 1.922 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.9

Умножим $- 1$ на $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + {(13 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.10

Вычтем $13.1$ из $13$ .

$6.561 + 1.922 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.11

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.01 \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.12

Умножим $0.01$ на $0.3$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.13

Умножим $- 1$ на $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.14

Вычтем $13.1$ из $16$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.15

Возведем $2.9$ в степень $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.16

Умножим $8.41$ на $0.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.17

Умножим $- 1$ на $13.1$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.18

Вычтем $13.1$ из $17$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {3.9}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.19

Возведем $3.9$ в степень $2$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 15.21 \cdot 0.3$

Этап 7.1.20

Умножим $15.21$ на $0.3$ .

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $6.561$ и $1.922$ .

$8.483 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

Этап 7.2.2

Добавим $8.483$ и $0.003$ .

$8.486 + 0.841 + 4.563$

Этап 7.2.3

Добавим $8.486$ и $0.841$ .

$9.327 + 4.563$

Этап 7.2.4

Добавим $9.327$ и $4.563$ .

$13.89$

Введите СВОЮ задачу