Конечная математика Примеры

\begin{matrix} x & P (x) 6 & 0.1 9 & 0.2 13 & 0.3 16 & 0.4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.1 \\ 9 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.4 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.1

$0.1$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.1

$0.1$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.2

$0.2$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.2

$0.2$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.3

$0.3$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.3

$0.3$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.6

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.7

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4$

Этап 1.8

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим

0.1

$0.1$ и

0.2

$0.2$ .

0.3 + 0.3 + 0.4

$0.3 + 0.3 + 0.4$

Этап 1.8.2

Добавим

0.3

$0.3$ и

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Этап 1.8.3

Добавим

0.6

$0.6$ и

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.9

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 6 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

6

$6$ на

0.1

$0.1$ .

u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 9 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Этап 3.2

Умножим

9

$9$ на

0.2

$0.2$ .

u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 1.8 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4$

Этап 3.3

Умножим

13

$13$ на

0.3

$0.3$ .

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 16 \cdot 0.4$

Этап 3.4

Умножим

16

$16$ на

0.4

$0.4$ .

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4

$u = 0.6 + 1.8 + 3.9 + 6.4$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим

0.6

$0.6$ и

1.8

$1.8$ .

u = 2.4 + 3.9 + 6.4

$u = 2.4 + 3.9 + 6.4$

Этап 4.2

Добавим

2.4

$2.4$ и

3.9

$3.9$ .

u = 6.3 + 6.4

$u = 6.3 + 6.4$

Этап 4.3

Добавим

6.3

$6.3$ и

6.4

$6.4$ .

u = 12.7

$u = 12.7$

u = 12.7

$u = 12.7$

Этап 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

s^{2} = \sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Этап 6

Подставим известные значения.

{(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(6 - (12.7))}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

12.7

$12.7$ .

{(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(6 - 12.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.2

Вычтем

12.7

$12.7$ из

6

$6$ .

{(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

${(- 6.7)}^{2} \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.3

Возведем

- 6.7

$- 6.7$ в степень

2

$2$ .

44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$44.89 \cdot 0.1 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.4

Умножим

44.89

$44.89$ на

0.1

$0.1$ .

4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + {(9 - (12.7))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

12.7

$12.7$ .

4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4

$4.489 + {(9 - 12.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.6

Вычтем

$12.7$ из

$9$ .

$4.489 + {(- 3.7)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.7

Возведем

$- 3.7$ в степень

$2$ .

$4.489 + 13.69 \cdot 0.2 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.8

Умножим

$13.69$ на

$0.2$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - (12.7))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.9

Умножим

$- 1$ на

$12.7$ .

$4.489 + 2.738 + {(13 - 12.7)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.10

Вычтем

$12.7$ из

$13$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.11

Умножим

${0.3}^{2}$ на

$0.3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Умножим

${0.3}^{2}$ на

$0.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1.1

Возведем

$0.3$ в степень

$1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2} \cdot {0.3}^{1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.11.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{2 + 1} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.11.2

Добавим

$2$ и

$1$ .

$4.489 + 2.738 + {0.3}^{3} + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.12

Возведем

$0.3$ в степень

$3$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - (12.7))}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.13

Умножим

$- 1$ на

$12.7$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {(16 - 12.7)}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.14

Вычтем

$12.7$ из

$16$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + {3.3}^{2} \cdot 0.4$

Этап 7.1.15

Возведем

$3.3$ в степень

$2$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 10.89 \cdot 0.4$

Этап 7.1.16

Умножим

$10.89$ на

$0.4$ .

$4.489 + 2.738 + 0.027 + 4.356$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим

$4.489$ и

$2.738$ .

$7.227 + 0.027 + 4.356$

Этап 7.2.2

Добавим

$7.227$ и

$0.027$ .

$7.254 + 4.356$

Этап 7.2.3

Добавим

$7.254$ и

$4.356$ .

$11.61$

Введите СВОЮ задачу