Конечная математика Примеры

\begin{matrix} x & P (x) 4 & 0.4 7 & 0.2 9 & 0.1 11 & 0.1 13 & 0.1 17 & 0.1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.2

$0.2$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.2

$0.2$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.1

$0.1$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.1

$0.1$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.6

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Этап 1.7

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим

0.4

$0.4$ и

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Этап 1.7.2

Добавим

0.6

$0.6$ и

0.1

$0.1$ .

0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

Этап 1.7.3

Добавим

0.7

$0.7$ и

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.1 + 0.1

$0.8 + 0.1 + 0.1$

Этап 1.7.4

Добавим

0.8

$0.8$ и

0.1

$0.1$ .

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

Этап 1.7.5

Добавим

0.9

$0.9$ и

0.1

$0.1$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.8

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

4

$4$ на

0.4

$0.4$ .

1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3.2

Умножим

7

$7$ на

0.2

$0.2$ .

1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3.3

Умножим

9

$9$ на

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3.4

Умножим

11

$11$ на

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3.5

Умножим

13

$13$ на

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1$

Этап 3.6

Умножим

17

$17$ на

0.1

$0.1$ .

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим

1.6

$1.6$ и

1.4

$1.4$ .

3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Этап 4.2

Добавим

3

$3$ и

0.9

$0.9$ .

3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

Этап 4.3

Добавим

3.9

$3.9$ и

1.1

$1.1$ .

5 + 1.3 + 1.7

$5 + 1.3 + 1.7$

Этап 4.4

Добавим

5

$5$ и

1.3

$1.3$ .

6.3 + 1.7

$6.3 + 1.7$

Этап 4.5

Добавим

6.3

$6.3$ и

1.7

$1.7$ .

8

$8$

8

$8$

Этап 5

Стандартное отклонение распределения ― это мера разброса. Оно равно квадратному корню из дисперсии.

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Этап 6

Подставим известные значения.

\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.2

Вычтем

8

$8$ из

4

$4$ .

\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.3

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.4

Умножим

16

$16$ на

0.4

$0.4$ .

\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.6

Вычтем

8

$8$ из

7

$7$ .

\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.7

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.8

Умножим

0.2

$0.2$ на

1

$1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.10

Вычтем

8

$8$ из

9

$9$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.11

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.12

Умножим

0.1

$0.1$ на

1

$1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.13

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.14

Вычтем

8

$8$ из

11

$11$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.15

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.16

Умножим

9

$9$ на

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.17

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.18

Вычтем

8

$8$ из

13

$13$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.19

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.20

Умножим

25

$25$ на

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.21

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.22

Вычтем

8

$8$ из

17

$17$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}$

Этап 7.23

Возведем

9

$9$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}$

Этап 7.24

Умножим

81

$81$ на

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Этап 7.25

Добавим

6.4

$6.4$ и

0.2

$0.2$ .

\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Этап 7.26

Добавим

6.6

$6.6$ и

0.1

$0.1$ .

\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

Этап 7.27

Добавим

6.7

$6.7$ и

0.9

$0.9$ .

\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}$

Этап 7.28

Добавим

7.6

$7.6$ и

2.5

$2.5$ .

\sqrt{10.1 + 8.1}

$\sqrt{10.1 + 8.1}$

Этап 7.29

Добавим

10.1

$10.1$ и

8.1

$8.1$ .

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

Десятичная форма:

4.26614580 \dots

$4.26614580 \dots$

Введите СВОЮ задачу