Конечная математика Примеры

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 4 & 0.2 \\ 6 & 0.4 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.2

$0.2$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.2

$0.2$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.6

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.4 + 0.2 + 0.4

$0.4 + 0.2 + 0.4$

Этап 1.7

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим

0.4

$0.4$ и

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.4

$0.6 + 0.4$

Этап 1.7.2

Добавим

0.6

$0.6$ и

0.4

$0.4$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.8

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.2 + 0.4 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.4 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$1 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

0.4

$0.4$ на

1

$1$ .

0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.4$

Этап 3.2

Умножим

4

$4$ на

0.2

$0.2$ .

0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4

$0.4 + 0.8 + 6 \cdot 0.4$

Этап 3.3

Умножим

6

$6$ на

0.4

$0.4$ .

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

0.4 + 0.8 + 2.4

$0.4 + 0.8 + 2.4$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим

0.4

$0.4$ и

0.8

$0.8$ .

1.2 + 2.4

$1.2 + 2.4$

Этап 4.2

Добавим

1.2

$1.2$ и

2.4

$2.4$ .

3.6

$3.6$

3.6

$3.6$

Этап 5

Стандартное отклонение распределения ― это мера разброса. Оно равно квадратному корню из дисперсии.

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Этап 6

Подставим известные значения.

\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

3.6

$3.6$ .

\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(1 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.2

Вычтем

3.6

$3.6$ из

1

$1$ .

\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{{(- 2.6)}^{2} \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.3

Возведем

- 2.6

$- 2.6$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{6.76 \cdot 0.4 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.4

Умножим

6.76

$6.76$ на

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - (3.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {(4 - 3.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.6

Вычтем

3.6

$3.6$ из

4

$4$ .

\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + {0.4}^{2} \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.7

Возведем

0.4

$0.4$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.16 \cdot 0.2 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.8

Умножим

0.16

$0.16$ на

0.2

$0.2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - (3.6))}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

3.6

$3.6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {(6 - 3.6)}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.10

Вычтем

3.6

$3.6$ из

6

$6$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + {2.4}^{2} \cdot 0.4}$

Этап 7.11

Возведем

2.4

$2.4$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 5.76 \cdot 0.4}$

Этап 7.12

Умножим

5.76

$5.76$ на

0.4

$0.4$ .

\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}

$\sqrt{2.704 + 0.032 + 2.304}$

Этап 7.13

Добавим

2.704

$2.704$ и

0.032

$0.032$ .

\sqrt{2.736 + 2.304}

$\sqrt{2.736 + 2.304}$

Этап 7.14

Добавим

2.736

$2.736$ и

2.304

$2.304$ .

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\sqrt{5.04}

$\sqrt{5.04}$

Десятичная форма:

2.24499443 \dots

$2.24499443 \dots$

Введите СВОЮ задачу