Конечная математика Примеры

\begin{matrix} x & P (x) 8 & 0.3 11 & 0.3 15 & 0.1 16 & 0.3 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.3 \\ 15 & 0.1 \\ 16 & 0.3 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.3

$0.3$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.3

$0.3$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.1

$0.1$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.1

$0.1$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.3

$0.3$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.3

$0.3$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.6

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

Этап 1.7

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим

0.3

$0.3$ и

0.3

$0.3$ .

0.6 + 0.1 + 0.3

$0.6 + 0.1 + 0.3$

Этап 1.7.2

Добавим

0.6

$0.6$ и

0.1

$0.1$ .

0.7 + 0.3

$0.7 + 0.3$

Этап 1.7.3

Добавим

0.7

$0.7$ и

0.3

$0.3$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.8

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

Expectation = 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим

8

$8$ на

0.3

$0.3$ .

Expectation = 2.4 + 11 \cdot 0.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 2.4 + 11 \cdot 0.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3$

Этап 3.1.2

Умножим

11

$11$ на

0.3

$0.3$ .

Expectation = 2.4 + 3.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 2.4 + 3.3 + 15 \cdot 0.1 + 16 \cdot 0.3$

Этап 3.1.3

Умножим

15

$15$ на

0.1

$0.1$ .

Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 16 \cdot 0.3

$Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 16 \cdot 0.3$

Этап 3.1.4

Умножим

16

$16$ на

0.3

$0.3$ .

Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 4.8

$Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 4.8$

Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 4.8

$Expectation = 2.4 + 3.3 + 1.5 + 4.8$

Этап 3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим

2.4

$2.4$ и

3.3

$3.3$ .

Expectation = 5.7 + 1.5 + 4.8

$Expectation = 5.7 + 1.5 + 4.8$

Этап 3.2.2

Добавим

5.7

$5.7$ и

1.5

$1.5$ .

Expectation = 7.2 + 4.8

$Expectation = 7.2 + 4.8$

Этап 3.2.3

Добавим

7.2

$7.2$ и

4.8

$4.8$ .

$Expectation = 12$

Введите СВОЮ задачу