Конечная математика Примеры

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.1

$0.1$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.1

$0.1$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.2

$0.2$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.2

$0.2$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

0.1

$0.1$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.1

$0.1$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.6

0.2

$0.2$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.2

$0.2$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.7

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.8

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Этап 1.9

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Добавим

0.4

$0.4$ и

0.1

$0.1$ .

0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Этап 1.9.2

Добавим

0.5

$0.5$ и

0.2

$0.2$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Этап 1.9.3

Добавим

0.7

$0.7$ и

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Этап 1.9.4

Добавим

0.8

$0.8$ и

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.10

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

Expectation = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим

0.4

$0.4$ на

1

$1$ .

Expectation = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Этап 3.1.2

Умножим

5

$5$ на

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Этап 3.1.3

Умножим

8

$8$ на

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Этап 3.1.4

Умножим

0.1

$0.1$ на

1

$1$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Этап 3.1.5

Умножим

14

$14$ на

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

Этап 3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим

0.4

$0.4$ и

0.5

$0.5$ .

Expectation = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$Expectation = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

Этап 3.2.2

Добавим

0.9

$0.9$ и

1.6

$1.6$ .

Expectation = 2.5 + 0.1 + 2.8

$Expectation = 2.5 + 0.1 + 2.8$

Этап 3.2.3

Добавим

2.5

$2.5$ и

0.1

$0.1$ .

Expectation = 2.6 + 2.8

$Expectation = 2.6 + 2.8$

Этап 3.2.4

Добавим

2.6

$2.6$ и

2.8

$2.8$ .

Expectation = 5.4

$Expectation = 5.4$

Expectation = 5.4

$Expectation = 5.4$

Expectation = 5.4

$Expectation = 5.4$

Введите СВОЮ задачу