Конечная математика Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем в виде расширенной матрицы для

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Этап 2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{3}{5}$ , чтобы сделать значение в

$2, 3$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{3}{5}$ , чтобы сделать значение в

$2, 3$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 & \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x_{1} - 2 x_{2} - x_{4} + 3 x_{5} = 0$

$x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 0$

$0 = 0$

Этап 4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} + x_{4} - 3 x_{5} \\ x_{2} \\ - 2 x_{4} + 2 x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}]$

Этап 5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 6

Запишем в виде множества решений.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4}, x_{5} \in R}$

Этап 7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 8

Проверим, являются ли векторы линейно независимыми.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перечислим векторы.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 8.2

Запишем векторы в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 8.3

Чтобы определить, являются ли столбцы в матрице линейно зависимыми, определим, имеет ли уравнение

$A x = 0$ любые нетривиальные решения.

Этап 8.4

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 0 - \frac{1}{2} & 0 + \frac{3}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.3

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- 2$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- 2$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 (\frac{3}{2}) & - 2 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.3.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.4

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 3 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.4.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.5

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.5.1

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 3 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.5.2

Упростим

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.6

Умножим каждый элемент

$R_{3}$ на

$- \frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в

$3, 3$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.6.1

Умножим каждый элемент

$R_{3}$ на

$- \frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в

$3, 3$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.6.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.7

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.7.1

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.7.2

Упростим

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.8

Выполним операцию над строками

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$5, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.8.1

Выполним операцию над строками

$R_{5} = R_{5} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$5, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 8.5.8.2

Упростим

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.9

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.9.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.9.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.10

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.10.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.10.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.11

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.11.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.5.11.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 8.6

Удалим строки, состоящие исключительно из нулей.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 8.7

Запишем матрицу в виде системы линейных уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 8.8

Поскольку единственное решение для

$A x = 0$ является тривиальным, векторы линейно независимы.

Линейно независимые

Этап 9

Поскольку векторы линейно независимы, они составляют базис нулевого пространства матрицы.

Основание

$Nul (A)$ :

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Размерность

$Nul (A)$ :

$3$

Введите СВОЮ задачу