Конечная математика Примеры

f (x) = 5 x^{3} + 6

$f (x) = 5 x^{3} + 6$

Этап 1

Запишем

f (x) = 5 x^{3} + 6

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ в виде уравнения.

y = 5 x^{3} + 6

$y = 5 x^{3} + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = 5 y^{3} + 6

$x = 5 y^{3} + 6$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

5 y^{3} + 6 = x

$5 y^{3} + 6 = x$ .

5 y^{3} + 6 = x

$5 y^{3} + 6 = x$

Этап 3.2

Вычтем

6

$6$ из обеих частей уравнения.

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$

Этап 3.3

Разделим каждый член

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$ на

5

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член

5 y^{3} = x - 6

$5 y^{3} = x - 6$ на

5

$5$ .

\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим

$y^{3}$ на

$1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = \frac{x}{5} - \frac{6}{5}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$

Этап 3.5

Упростим

$\sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$

Этап 3.5.2

Перепишем

$\sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$ в виде

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$

Этап 3.5.3

Умножим

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ на

$\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ на

$\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем

$\sqrt[3]{5}$ в степень

$1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим

$1$ и

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ в виде

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt[3]{5}$ в виде

$5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ в виде

$\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Этап 3.5.5.2

Возведем

$5$ в степень

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{25}}{5}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в

$\frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Этап 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Этап 5

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ обратной к

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6)$ , подставив значение

$f$ в

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 6) - 6)}}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем

$6$ из

$6$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Этап 5.2.3.2

Добавим

$5 x^{3}$ и

$0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Этап 5.2.3.3

Умножим

$25$ на

$5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем

$125 x^{3}$ в виде

${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.2.4.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})$ , подставив значение

$f^{- 1}$ в

$f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})}^{3} + 6$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к

$\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем

${\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}$ в виде

$25 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt[3]{25 (x - 6)}$ в виде

${(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим

$25$ на

$- 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 150}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель

$25$ из

$25 x - 150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель

$25$ из

$25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 150}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель

$25$ из

$- 150$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель

$25$ из

$25 x + 25 \cdot - 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

Этап 5.3.3.3

Возведем

$5$ в степень

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{125}) + 6$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель

$5$ из

$125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 (25)}) + 6$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 \cdot 25}) + 6$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель

$25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим

$x - 6$ на

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x - 6 + 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в

$x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим

$- 6$ и

$6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим

$x$ и

$0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x$

Этап 5.4

Так как

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ — обратная к

$f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Введите СВОЮ задачу