Конечная математика Примеры

x^{2} - 4 x - 12 < 0

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

x^{2} - 4 x - 12 = 0

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Этап 2

Разложим

x^{2} - 4 x - 12

$x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 12

$- 12$ , а сумма —

- 4

$- 4$ .

- 6, 2

$- 6, 2$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем

x - 6

$x - 6$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

x - 6

$x - 6$ к

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

Этап 4.2

Добавим

6

$6$ к обеим частям уравнения.

x = 6

$x = 6$

x = 6

$x = 6$

Этап 5

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем

2

$2$ из обеих частей уравнения.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

x = 6, - 2

$x = 6, - 2$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 2

$x < - 2$

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

x > 6

$x > 6$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале

x < - 2

$x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 2

$x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 4

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 4

$- 4$ в исходном неравенстве.

{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть

20

$20$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть

- 12

$- 12$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале

x > 6

$x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале

x > 6

$x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 8

$x = 8$

Этап 8.3.2

Заменим

x

$x$ на

8

$8$ в исходном неравенстве.

{(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть

20

$20$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 2

$x < - 2$ Ложь

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ Истина

x > 6

$x > 6$ Ложь

x < - 2

$x < - 2$ Ложь

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ Истина

x > 6

$x > 6$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

Интервальное представление:

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу