Математический анализ Примеры

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть

x = \sin (t)

$x = \sin (t)$ , где

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда

d x = \cos (t) d t

$d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение

\cos (t)

$\cos (t)$ положительно.

\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим

\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\int \cos (t) \cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

\int \cos (t) \cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем

\cos (t)

$\cos (t)$ в степень

1

$1$ .

\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Возведем

\cos (t)

$\cos (t)$ в степень

1

$1$ .

\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Этап 2.2.3

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\int \cos^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int \cos^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int \cos^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Используем формулу половинного угла для записи

\cos^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ в виде

\frac{1 + \cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 4

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

t

$t$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 7

Пусть

u = 2 t

$u = 2 t$ . Тогда

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , следовательно

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть

u = 2 t

$u = 2 t$ . Найдем

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 7.1.2

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

t

$t$ , производная

2 t

$2 t$ по

t

$t$ равна

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 8

Объединим

\cos (u)

$\cos (u)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 9

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 10

Интеграл

\cos (u)

$\cos (u)$ по

u

$u$ имеет вид

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 11

Упростим.

\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения

t

$t$ на

\arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения

u

$u$ на

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 12.3

Заменим все вхождения

t

$t$ на

\arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

\sin (2 \arcsin (x))

$\sin (2 \arcsin (x))$ .

\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 13.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

\arcsin (x)

$\arcsin (x)$ .

\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 13.4

Умножим

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 13.4.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Введите СВОЮ задачу