Математический анализ Примеры

\int x \ln (x) d x

$\int x \ln (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = \ln (x)

$u = \ln (x)$ и

d v = x

$d v = x$ .

\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Объединим

\ln (x)

$\ln (x)$ и

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим

x^{2}

$x^{2}$ и

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель

x^{2}

$x^{2}$ и

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель

x

$x$ из

x^{1}

$x^{1}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Этап 4.2.2.5

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл

x

$x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде

\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

\ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6.2.2

Объединим

\frac{\ln (x)}{2}

$\frac{\ln (x)}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6.2.3

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Этап 6.2.4

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Этап 6.3

Объединим

x^{2}

$x^{2}$ и

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Введите СВОЮ задачу