Математический анализ Примеры

$\int x \cos (3 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = x$ и

$d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2.2

Объединим

$x$ и

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 3

Поскольку

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Этап 4

Пусть

$u = 3 x$ . Тогда

$d u = 3 d x$ , следовательно

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя

$u$ и

$d$

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть

$u = 3 x$ . Найдем

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем

$3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку

$3$ является константой относительно

$x$ , производная

$3 x$ по

$x$ равна

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим

$3$ на

$1$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью

$u$ и

$d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим

$\sin (u)$ и

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 6

Поскольку

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

$u$ , вынесем

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим

$3$ на

$3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл

$\sin (u)$ по

$u$ имеет вид

$- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Этап 9

Перепишем

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ в виде

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения

$u$ на

$3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

Введите СВОЮ задачу