Математический анализ Примеры

\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

Этап 1

Разделим

x^{3} + x

$x^{3} + x$ на

x^{3} - 1

$x^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

0

$0$ .

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

x

$x$

0

$0$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

x^{3}

$x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

x^{3}

$x^{3}$ .

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

x

$x$

0

$0$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

0 x

$0 x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

x

$x$

0

$0$

x^{3}

$x^{3}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

x^{3} + 0 + 0 - 1

$x^{3} + 0 + 0 - 1$ .

								$1$ $1$
$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	+	$x$ $x$	+	$0$ $0$
							-	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$0$ $0$	-	$0$ $0$	+	$1$ $1$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$1$ $1$
$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{3}$ .

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

Этап 4.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где

$a = x$ и

$b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 4.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Умножим

$x$ на

$1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Этап 4.1.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место

$A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 4.1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть

$2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель

$x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.6.2

Разделим

$x + 1$ на

$1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Сократим общий множитель

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7.1.2

Разделим

$(A) (x^{2} + x + 1)$ на

$1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7.3

Умножим

$A$ на

$1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7.4

Сократим общий множитель

$x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.1.7.4.2

Разделим

$(B x + C) (x - 1)$ на

$1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Этап 4.1.7.5

Развернем

$(B x + C) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Этап 4.1.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Этап 4.1.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 4.1.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1

Умножим

$x$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1.1

Перенесем

$x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 4.1.7.6.1.2

Умножим

$x$ на

$x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 4.1.7.6.2

Перенесем

$- 1$ влево от

$B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 4.1.7.6.3

Перепишем

$- 1 (B x)$ в виде

$- (B x)$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 4.1.7.6.4

Перенесем

$- 1$ влево от

$C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Этап 4.1.7.6.5

Перепишем

$- 1 C$ в виде

$- C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 4.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Изменим порядок

$B$ и

$x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 4.1.8.2

Перенесем

$B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Этап 4.1.8.3

Перенесем

$A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Этап 4.1.8.4

Перенесем

$A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

$x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

$x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A - 1 B + C$

Этап 4.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих

$x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A - 1 C$

Этап 4.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно

$A$ в

$0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде

$A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3.1.2

Вычтем

$B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения

$A$ на

$- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения

$A$ в

$1 = A - 1 B + C$ на

$- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим

$(- B) - 1 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Перепишем

$- 1 B$ в виде

$- B$ .

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вычтем

$B$ из

$- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения

$A$ в

$1 = A - 1 C$ на

$- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 4.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Перепишем

$- 1 C$ в виде

$- C$ .

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно

$C$ в

$1 = - 2 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде

$- 2 B + C = 1$ .

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2

Добавим

$2 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения

$C$ на

$1 + 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения

$C$ в

$1 = - B - C$ на

$1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим

$- B - (1 + 2 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.4.2.1.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.4.2.1.1.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.4.2.1.2

Вычтем

$2 B$ из

$- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5

Решим относительно

$B$ в

$1 = - 3 B - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Перепишем уравнение в виде

$- 3 B - 1 = 1$ .

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.2

Перенесем все члены без

$B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.2.2

Добавим

$1$ и

$1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.3

Разделим каждый член

$- 3 B = 2$ на

$- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Разделим каждый член

$- 3 B = 2$ на

$- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.3.2.1.2

Разделим

$B$ на

$1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.6

Заменим все вхождения

$B$ на

$- \frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Заменим все вхождения

$B$ в

$C = 1 + 2 B$ на

$- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Упростим

$1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1.1

Умножим

$2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.1.1.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.1.1.2

Объединим

$- 2$ и

$\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.1.1.3

Умножим

$- 2$ на

$2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1.2.1

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.2.3

Вычтем

$4$ из

$3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.2.1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 4.3.6.3

Заменим все вхождения

$B$ в

$A = - B$ на

$- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 4.3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Умножим

$- (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 4.3.6.4.1.2

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 4.3.7

Перечислим все решения.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ значениями, найденными для

$A$ ,

$B$ и

$C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Умножим

$\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Этап 4.5.1.2

Объединим.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.3

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Объединим

$x$ и

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.4.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{x \cdot 2}{3}$ в числитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.4.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.5.1.2

Вынесем множитель

$3$ из

$3 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Этап 4.5.5.1.3

Вынесем множитель

$3$ из

$3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Этап 4.5.5.1.4

Вынесем множитель

$3$ из

$3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Этап 4.5.5.1.5

Вынесем множитель

$3$ из

$3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.5.2

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 2 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.5.3

Перепишем

$- 1$ в виде

$- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.5.4

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.5.1

Перепишем

$- (2 x + 1)$ в виде

$- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.5.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5.7

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 6

Поскольку

$\frac{2}{3}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 7

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Тогда

$d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{1}$ и

$d$

$u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Найдем

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем

$x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная

$x - 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 7.1.4

Поскольку

$- 1$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{1}$ и

$d u_{1}$ .

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 8

Интеграл

$\frac{1}{u_{1}}$ по

$u_{1}$ имеет вид

$\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 9

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Этап 10

Поскольку

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

Этап 11

Пусть

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Тогда

$d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , следовательно

$\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{2}$ и

$d$

$u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Найдем

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем

$x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная

$x^{2} + x + 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.5

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$2 x + 1 + 0$

Этап 11.1.6

Добавим

$2 x + 1$ и

$0$ .

$2 x + 1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{2}$ и

$d u_{2}$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл

$\frac{1}{u_{2}}$ по

$u_{2}$ имеет вид

$\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения

$u_{1}$ на

$x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения

$u_{2}$ на

$x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

Введите СВОЮ задачу