Математический анализ Примеры

\int \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} d x

$\int \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим

x^{2} + x - 2

$x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 2

$- 2$ , а сумма —

1

$1$ .

- 1, 2

$- 1, 2$

Этап 1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}

$\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}$

\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}

$\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место

A

$A$ .

\frac{A}{x - 1}

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 1.1.3

B

$B$ .

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен

(x - 1) (x + 2)

$(x - 1) (x + 2)$ .

\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель

x - 1

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель

$x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.6.2

Разделим

$x + 5$ на

$1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим

$(A) (x + 2)$ на

$1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем

$2$ влево от

$A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель

$x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим

$(B) (x - 1)$ на

$1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.6

Перенесем

$- 1$ влево от

$B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

Этап 1.1.7.7

Перепишем

$- 1 B$ в виде

$- B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - B$

Этап 1.1.8

Перенесем

$2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

$x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих

$x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 2 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно

$A$ в

$1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде

$A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем

$B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения

$A$ на

$1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения

$A$ в

$5 = 2 A - 1 B$ на

$1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим

$2 (1 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$5 = 2 - 2 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Перепишем

$- 1 B$ в виде

$- B$ .

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем

$B$ из

$- 2 B$ .

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно

$B$ в

$5 = 2 - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде

$2 - 3 B = 5$ .

$2 - 3 B = 5$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без

$B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем

$2$ из обеих частей уравнения.

$- 3 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем

$2$ из

$5$ .

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член

$- 3 B = 3$ на

$- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член

$- 3 B = 3$ на

$- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим

$B$ на

$1$ .

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим

$3$ на

$- 3$ .

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения

$B$ на

$- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения

$B$ в

$A = 1 - B$ на

$- 1$ .

$A = 1 - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим

$1 - (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$A = 1 + 1$

$B = - 1$

Этап 1.3.4.2.1.2

Добавим

$1$ и

$1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = - 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для

$A$ и

$B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 3

Поскольку

$2$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 4

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Тогда

$d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{1}$ и

$d$

$u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Найдем

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем

$x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная

$x - 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку

$- 1$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{1}$ и

$d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 5

Интеграл

$\frac{1}{u_{1}}$ по

$u_{1}$ имеет вид

$\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 6

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 7

Пусть

$u_{2} = x + 2$ . Тогда

$d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{2}$ и

$d$

$u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть

$u_{2} = x + 2$ . Найдем

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем

$x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная

$x + 2$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 7.1.4

Поскольку

$2$ является константой относительно

$x$ , производная

$2$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{2}$ и

$d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл

$\frac{1}{u_{2}}$ по

$u_{2}$ имеет вид

$\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$2 \ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения

$u_{1}$ на

$x - 1$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения

$u_{2}$ на

$x + 2$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| x + 2 |) + C$

Введите СВОЮ задачу