Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}$

Этап 1.1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x - 2)}$

Этап 1.1.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 (x) - 2)}$

Этап 1.1.1.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)}$

Этап 1.1.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)}$

Этап 1.1.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)}$

Этап 1.1.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))}$

Этап 1.1.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x - 1) (x + 2))}$

Этап 1.1.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (2 x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.7.2

Разделим $x^{2} + 2 x - 1$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.1.2

Разделим $A ((2 x - 1) (x + 2))$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A ((2 x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2

Развернем $(2 x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.3.2

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 3 x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2}) + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.5.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.6

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.6.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + \frac{B (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.6.2

Разделим $(B) (x (x + 2))$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.8

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.9

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.10

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.12

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.12.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Этап 1.1.8.12.2

Разделим $(C) (x (2 x - 1))$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (2 x - 1))$

Этап 1.1.8.13

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.8.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.8.15

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Этап 1.1.8.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.16.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.16.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Этап 1.1.8.16.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Этап 1.1.8.16.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - x)$

Этап 1.1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2}) + C (- x)$

Этап 1.1.8.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} + C (- x)$

Этап 1.1.8.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Перенесем $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.2

Перенесем $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.3

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.4

Перенесем $B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x$

Этап 1.1.9.5

Перенесем $- 2 A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x - 2 A$

Этап 1.1.9.6

Перенесем $2 x B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Этап 1.1.9.7

Перенесем $3 x A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 3 x A + 2 x B - C x - 2 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + B + 2 C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = - 2 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $- 1 = - 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 A = - 1$ .

$- 2 A = - 1$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 2 A = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 A = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 2 A + B + 2 C$ на $\frac{1}{2}$ .

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $2 = 3 A + 2 B - 1 C$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 = 3 (\frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2.4.1.2

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 1 + B + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B + 2 C = 1$ .

$1 + B + 2 C = 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B + 2 C = 1 - 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $2 C$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - 1 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$B = 0 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3.2.4

Вычтем $2 C$ из $0$ .

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 2 C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$ на $- 2 C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $\frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 = \frac{3}{2} - 4 C - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $C$ из $- 4 C$ .

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5

Решим относительно $C$ в $2 = \frac{3}{2} - 5 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{2} - 5 C = 2$ .

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 5 C = 2 - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 5 C = \frac{4 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.2.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3

Разделим каждый член $- 5 C = \frac{1}{2}$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Разделим каждый член $- 5 C = \frac{1}{2}$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{5})$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.3.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$C = - \frac{1}{2 \cdot 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.5.3.3.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $- \frac{1}{10}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = - 2 C$ на $- \frac{1}{10}$ .

$B = - 2 (- \frac{1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10}$ в числитель.

$B = - 2 (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - 1 (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.3

Умножим $- 1 (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.6.2.1.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.7

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{5}, C = - \frac{1}{10}, A = \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Этап 1.5.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Этап 1.5.6

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 10}$

Этап 1.5.7

Перенесем $10$ влево от $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 13

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 13.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 13.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 13.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| x + 2 |) + C$

Введите СВОЮ задачу