Математический анализ Примеры

\infty \sum n = 1 \frac{1}{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Этап 1

Чтобы определить, сходится ли ряд, определим, сходится ли интеграл последовательности.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Запишем интеграл в виде предела, когда

t

$t$ стремится к

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Интеграл

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

lim t \to \infty ln (| x |)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ в

t

$t$ и в

1

$1$ .

lim t \to \infty (ln (| t |)) - ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

lim t \to \infty ln (| t |) - ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Этап 4.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

lim t \to \infty ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

lim t \to \infty ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Этап 5

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к

\infty

$\infty$ .

\infty

$\infty$

Этап 6

Так как интеграл расходится, ряд также расходится.