Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Этап 1

Чтобы определить, сходится ли ряд, определим, сходится ли интеграл последовательности.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Этап 4.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Этап 5

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\infty$

Этап 6

Так как интеграл расходится, ряд также расходится.