Математический анализ Примеры

\infty \sum k = 1 k e^{k^{2}}

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Этап 1

Проверим, является ли функция непрерывной в границах суммирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

{k | k \in R}

${k | k \in ℝ}$

Этап 1.2

f (k)

$f (k)$ — непрерывное выражение в области

[1, \infty)

$[1, \infty)$ .

Функция является непрерывной.

$Функция является непрерывной.$

Функция является непрерывной.

$Функция является непрерывной.$

Этап 2

Проверим, является ли функция положительной в пределах границ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим неравенство.

k e^{k^{2}} > 0

$k e^{k^{2}} > 0$

Этап 2.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

k = 0

$k = 0$

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем

k

$k$ к

0

$0$ .

k = 0

$k = 0$

Этап 2.2.3

Приравняем

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ к

0

$0$ , затем решим относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Приравняем

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ к

0

$0$ .

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 2.2.3.2

Решим

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$ относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{k^{2}}) = ln (0)

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Этап 2.2.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение

ln (0)

$\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.3.2.3

Нет решения для

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых

k e^{k^{2}} > 0

$k e^{k^{2}} > 0$ верно.

k = 0

$k = 0$

Этап 2.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

k > 0

$k > 0$

k > 0

$k > 0$

k > 0

$k > 0$

Этап 3

Определим, где функция уменьшается.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем

k e^{k^{2}}

$k e^{k^{2}}$ в виде функции.

f (k) = k e^{k^{2}}

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Этап 3.2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]

$\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ имеет вид

f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]

$f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ , где

f (k) = k

$f (k) = k$ и

g (k) = e^{k^{2}}

$g (k) = e^{k^{2}}$ .

k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d k} [f (g (k))]

$\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ имеет вид

f' (g (k)) g' (k)

$f' (g (k)) g' (k)$ , где

f (k) = e^{k}

$f (k) = e^{k}$ и

g (k) = k^{2}

$g (k) = k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

k^{2}

$k^{2}$ .

k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.2.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

k^{2}

$k^{2}$ .

k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d k} [k^{n}]

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид

n k^{n - 1}

$n k^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.4

Возведем

k

$k$ в степень

1

$1$ .

k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.5

Возведем

k

$k$ в степень

1

$1$ .

k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.6

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.7.2

Перенесем

2

$2$ влево от

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ .

k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Этап 3.2.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d k} [k^{n}]

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид

n k^{n - 1}

$n k^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Этап 3.2.1.9

Умножим

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ на

1

$1$ .

k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Изменим порядок членов.

2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.1.10.2

Изменим порядок множителей в

2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Этап 3.2.2

Первая производная

f (k)

$f (k)$ по

k

$k$ равна

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Этап 3.3

Приравняем первую производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть первая производная равна

0

$0$ .

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ из

2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ из

2 k^{2} e^{k^{2}}

$2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.2.2

Умножим на

1

$1$ .

e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ из

e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

2 k^{2} + 1 = 0

$2 k^{2} + 1 = 0$

Этап 3.3.4

Приравняем

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ к

0

$0$ , затем решим относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Приравняем

e^{k^{2}}

$e^{k^{2}}$ к

0

$0$ .

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

Этап 3.3.4.2

Решим

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$ относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{k^{2}}) = ln (0)

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Этап 3.3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение

ln (0)

$\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.3.4.2.3

Нет решения для

e^{k^{2}} = 0

$e^{k^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 3.3.5

Приравняем

2 k^{2} + 1

$2 k^{2} + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем

2 k^{2} + 1

$2 k^{2} + 1$ к

0

$0$ .

2 k^{2} + 1 = 0

$2 k^{2} + 1 = 0$

Этап 3.3.5.2

Решим

2 k^{2} + 1 = 0

$2 k^{2} + 1 = 0$ относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

2 k^{2} = - 1

$2 k^{2} = - 1$

Этап 3.3.5.2.2

Разделим каждый член

2 k^{2} = - 1

$2 k^{2} = - 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Разделим каждый член

2 k^{2} = - 1

$2 k^{2} = - 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2.1.2

Разделим

$k^{2}$ на

$1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4

Упростим

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.1

Перепишем

$- \frac{1}{2}$ в виде

$i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.1.1

Перепишем

$- 1$ в виде

$i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.1.2

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.4

Перепишем

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.5

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.6

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 3.3.5.2.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.2

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.3

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.3.5.2.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.4.8

Объединим

$i$ и

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ верно.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4

В области определения исходной задачи нет значений

$k$ , при которых производная равна

$0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 3.5

Нет точек, в которых производная

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ была бы равна

$0$ или не определена.

$f (k) = k e^{k^{2}}$ проверяется на возрастание или убывание на интервале

$(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 3.6

Подставим любое число, например

$1$ , из интервала

$(- \infty, \infty)$ в производную

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале

$(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале

$(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим в этом выражении переменную

$k$ на

$1$ .

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.4

Упростим.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Этап 3.6.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 2 e + e$

Этап 3.6.2.1.6

Упростим.

$f' (1) = 2 e + e$

Этап 3.6.2.2

Добавим

$2 e$ и

$e$ .

$f' (1) = 3 e$

Этап 3.6.2.3

Окончательный ответ:

$3 e$ .

$3 e$

Этап 3.7

Результат подстановки

$1$ в

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ равен

$3 e$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале

$(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области

$(- \infty, \infty)$ , так как

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Этап 3.8

Возрастание на интервале

$(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

$Всегда возрастающие$

Этап 4

Интегральный критерий неприменим, так как функция не всегда убывает в интервале от

$1$ до

$\infty$ .

Введите СВОЮ задачу