Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Этап 1

Чтобы определить, сходится ли ряд, определим, сходится ли интеграл последовательности.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\arctan (x)$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Этап 5.2

Избавимся от скобок.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Этап 6.2

Предел, когда $t$ стремится к $\infty$ , равен $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Этап 6.3

Найдем предел $\arctan (1)$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Этап 6.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 6.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.4.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 7

Так как интеграл сходится, ряд также сходится.

Введите СВОЮ задачу