Математический анализ Примеры

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ,

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ ,

\frac{1}{18}

$\frac{1}{18}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия:

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения

a_{1} = \frac{1}{2}

$a_{1} = \frac{1}{2}$ и

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ .

a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Объединим.

a_{n} = \frac{1 \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1 \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6

Умножим

1

$1$ на

1^{n - 1}

$1^{n - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

1

$1$ на

1^{n - 1}

$1^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем

1

$1$ в степень

1

$1$ .

a_{n} = \frac{1^{1} \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{1} \cdot 1^{n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

a_{n} = \frac{1^{1 + n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{1 + n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

a_{n} = \frac{1^{1 + n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{1 + n - 1}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в

1 + n - 1

$1 + n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

a_{n} = \frac{1^{n + 0}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{n + 0}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 6.2.2

Добавим

n

$n$ и

0

$0$ .

a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 7

Единица в любой степени равна единице.

a_{n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n - 1}}$

Этап 8

Подставим значение

n

$n$ , чтобы найти

n

$n$ -й член.

a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{(4) - 1}}

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{(4) - 1}}$

Этап 9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

Этап 9.2

Возведем

3

$3$ в степень

3

$3$ .

a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 27}

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 27}$

a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 27}

$a_{4} = \frac{1}{2 \cdot 27}$

Этап 10

Умножим

2

$2$ на

27

$27$ .

a_{4} = \frac{1}{54}

$a_{4} = \frac{1}{54}$

Введите СВОЮ задачу