Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Этап 1

Для бесконечного ряда $\sum_{}^{} a_{n}$ найдем предел $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ для проверки сходимости по признаку Коши.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 2

Подставим значение $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переместим экспоненту в абсолютное значение.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Этап 3.3

Упростим.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Этап 4.2

Разделим числитель и знаменатель на $n$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $n$ и $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $n$ из $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $n$ из $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n^{2}}$ стремится к $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.5.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Этап 4.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n^{3}}$ стремится к $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Этап 4.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Этап 4.7.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Этап 4.7.2

Добавим $5$ и $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Этап 4.7.3

$\frac{1}{5}$ приблизительно равно $0.2$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$L = \frac{1}{5}$

Этап 4.8

Разделим $1$ на $5$ .

$L = 0.2$

Этап 5

Если $L < 1$ , ряд является абсолютно сходящимся. Если $L > 1$ , ряд является расходящимся. Если $L = 1$ , проверка не дает однозначного результата. В этом случае $L < 1$ .

Ряд сходится на $[1, \infty)$

Введите СВОЮ задачу