Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Этап 1

Для бесконечного ряда $\sum_{}^{} a_{n}$ найдем предел $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ для проверки сходимости по признаку Коши.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 2

Подставим значение $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переместим экспоненту в абсолютное значение.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.4

Найдем экспоненту.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.2

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $n^{\frac{1}{n}}$ в виде $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ , вынося $\frac{1}{n}$ из логарифма.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{n}$ и $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Этап 4.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Этап 4.4.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Этап 4.4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Этап 4.4.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Этап 4.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Этап 4.4.3.2

Производная $\ln (n)$ по $n$ равна $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Этап 4.4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Этап 4.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Этап 4.4.5

Умножим $\frac{1}{n}$ на $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Этап 4.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n}$ стремится к $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Этап 4.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Этап 4.6.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Этап 4.6.2.2

Перепишем это выражение.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Этап 4.6.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$L = | - 2 |$

Этап 4.6.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$L = 2$

Этап 5

Если $L < 1$ , ряд является абсолютно сходящимся. Если $L > 1$ , ряд является расходящимся. Если $L = 1$ , проверка не дает однозначного результата. В этом случае $L > 1$ .

Ряд расходится на $[0, \infty)$

Введите СВОЮ задачу