Математический анализ Примеры

\infty \sum n = 0 \frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Этап 1

Для бесконечного ряда

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ найдем предел

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ для проверки сходимости по признаку Коши.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 2

Подставим значение

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n}}{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переместим экспоненту в абсолютное значение.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Этап 3.2

Применим правило умножения к

\frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в

{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель

n

$n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 3.4

Найдем экспоненту.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.2

Вынесем член

$- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении

$n$ к

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.1.4

Найдем предел

$1$ , который является константой по мере приближения

$n$ к

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем

$n^{\frac{1}{n}}$ в виде

$e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Этап 4.2.2

Развернем

$\ln (n^{\frac{1}{n}})$ , вынося

$\frac{1}{n}$ из логарифма.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Этап 4.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Этап 4.3.2

Объединим

$\frac{1}{n}$ и

$\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Этап 4.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Этап 4.4.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к

$\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Этап 4.4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Этап 4.4.2

Поскольку

$\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Этап 4.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Этап 4.4.3.2

Производная

$\ln (n)$ по

$n$ равна

$\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Этап 4.4.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид

$n \cdot n^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Этап 4.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Этап 4.4.5

Умножим

$\frac{1}{n}$ на

$1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Этап 4.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

$\frac{1}{n}$ стремится к

$0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Этап 4.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Этап 4.6.2

Сократим общий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Этап 4.6.2.2

Перепишем это выражение.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Этап 4.6.3

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$L = | - 2 |$

Этап 4.6.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$- 2$ и

$0$ равно

$2$ .

$L = 2$

Этап 5

Если

$L < 1$ , ряд является абсолютно сходящимся. Если

$L > 1$ , ряд является расходящимся. Если

$L = 1$ , проверка не дает однозначного результата. В этом случае

$L > 1$ .

Ряд расходится на

$[0, \infty)$

Введите СВОЮ задачу