Математический анализ Примеры

y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Этап 1

Приравняем

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ к

0

$0$ .

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем

27

$27$ в виде

3^{3}

$3^{3}$ .

x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.4.2

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель

9 x

$9 x$ из

9 x^{2} + 27 x

$9 x^{2} + 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель

9 x

$9 x$ из

9 x^{2}

$9 x^{2}$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель

9 x

$9 x$ из

27 x

$27 x$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель

9 x

$9 x$ из

9 x (x) + 9 x (3)

$9 x (x) + 9 x (3)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель

x + 3

$x + 3$ из

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель

x + 3

$x + 3$ из

9 x (x + 3)

$9 x (x + 3)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель

x + 3

$x + 3$ из

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Этап 2.1.7

Добавим

- 3 x

$- 3 x$ и

9 x

$9 x$ .

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перепишем

9

$9$ в виде

3^{2}

$3^{2}$ .

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

6 x = 2 \cdot x \cdot 3

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 2.1.8.3

Перепишем многочлен.

(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 3

$b = 3$ .

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

{(x + 3)}^{2} = 0

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

x = - 3

$x = - 3$ (кратно

3

$3$ )

x = - 3

$x = - 3$ (кратно

3

$3$ )

Этап 3

Введите СВОЮ задачу