Математический анализ Примеры

f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Этап 1

Чтобы найти функцию

F (x)

$F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной

f (x)

$f (x)$ .

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Этап 3

Поскольку

7

$7$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

7

$7$ из-под знака интеграла.

7 \int x {(x - 1)}^{6} d x

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Этап 4

Пусть

u = x - 1

$u = x - 1$ . Тогда

d u = d x

$d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть

u = x - 1

$u = x - 1$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем

x - 1

$x - 1$ .

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная

x - 1

$x - 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 1

$- 1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

7 \int (u + 1) u^{6} d u

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

7 \int (u + 1) u^{6} d u

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Этап 5

Умножим

(u + 1) u^{6}

$(u + 1) u^{6}$ .

7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

u

$u$ на

u^{6}

$u^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим

u

$u$ на

u^{6}

$u^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем

u

$u$ в степень

1

$1$ .

7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Этап 6.1.2

Добавим

1

$1$ и

6

$6$ .

7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Этап 6.2

Умножим

u^{6}

$u^{6}$ на

1

$1$ .

7 \int u^{7} + u^{6} d u

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

7 \int u^{7} + u^{6} d u

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл

$u^{7}$ по

$u$ имеет вид

$\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл

$u^{6}$ по

$u$ имеет вид

$\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим

$\frac{1}{8}$ и

$u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Этап 10.1.2

Объединим

$\frac{1}{7}$ и

$u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения

$u$ на

$x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Введите СВОЮ задачу