Математический анализ Примеры

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в

x = x + h

$x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ в виде

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим

h

$h$ на

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим

x h

$x h$ и

h x

$h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок

x

$x$ и

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим

h x

$h x$ и

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ:

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем

$3 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.2

Перенесем

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.3

Изменим порядок

$2 h x$ и

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - (x^{2} + 3 x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем

$x^{2}$ из

$x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим

$h^{2}$ и

$0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем

$3 x$ из

$3 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ и

$0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель

$h$ из

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель

$h$ из

$h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель

$h$ из

$2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель

$h$ из

$3 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель

$h$ из

$h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель

$h$ из

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим

$h + 2 x + 3$ на

$1$ .

$h + 2 x + 3$

Этап 4.2.2

Изменим порядок

$h$ и

$2 x$ .

$2 x + h + 3$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу