Математический анализ Примеры

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ ,

(0, 34)

$(0, 34)$

Этап 1

Запишем

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ в виде функции.

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ в точке

x = 0

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

0

$0$ .

f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

f (0) = 0 + 3 (0) + 34

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим

3

$3$ на

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

Этап 2.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим

0

$0$ и

0

$0$ .

f (0) = 0 + 34

$f (0) = 0 + 34$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим

0

$0$ и

34

$34$ .

f (0) = 34

$f (0) = 34$

f (0) = 34

$f (0) = 34$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ:

34

$34$ .

34

$34$

34

$34$

34

$34$

Этап 2.2

Поскольку

34 = 34

$34 = 34$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

m

$m$

=

$=$ Производная от

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в

x = x + h

$x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Перепишем

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ в виде

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.2

Развернем

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.3.1.2

Умножим

h

$h$ на

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.3.2

Добавим

x h

$x h$ и

h x

$h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок

x

$x$ и

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.3.2.2

Добавим

h x

$h x$ и

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Этап 5.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ:

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем

3 x

$3 x$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Этап 5.2.2

Перенесем

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Этап 5.2.3

Изменим порядок

2 h x

$2 h x$ и

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Этап 6

Подставим компоненты.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

Этап 7.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

34

$34$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

Этап 7.1.3

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

Этап 7.1.4

Добавим

h^{2}

$h^{2}$ и

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

Этап 7.1.5

Вычтем

3 x

$3 x$ из

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

Этап 7.1.6

Добавим

h^{2}

$h^{2}$ и

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

Этап 7.1.7

Вычтем

34

$34$ из

34

$34$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 7.1.8

Добавим

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ и

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.9

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2}

$h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.9.2

Вынесем множитель

h

$h$ из

2 h x

$2 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Этап 7.1.9.3

Вынесем множитель

h

$h$ из

3 h

$3 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.9.4

Вынесем множитель

h

$h$ из

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.9.5

Вынесем множитель

h

$h$ из

h (h + 2 x) + h \cdot 3

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель

h

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим

$h + 2 x + 3$ на

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

Этап 7.2.2

Изменим порядок

$h$ и

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

$h$ к

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.2

Найдем предел

$2 x$ , который является константой по мере приближения

$h$ к

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.3

Найдем предел

$3$ , который является константой по мере приближения

$h$ к

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

Этап 9

Найдем предел

$h$ , подставив значение

$0$ для

$h$ .

$2 x + 0 + 3$

Этап 10

Добавим

$2 x$ и

$0$ .

$2 x + 3$

Этап 11

Упростим

$2 (0) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим

$2$ на

$0$ .

$m = 0 + 3$

Этап 11.2

Добавим

$0$ и

$3$ .

$m = 3$

Этап 12

Угловой коэффициент равен

$m = 3$ , а точка ―

$(0, 34)$ .

$m = 3, (0, 34)$

Этап 13

Найдем значение

$b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем

$b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 13.2

Подставим значение

$m$ в уравнение.

$y = (3) \cdot x + b$

Этап 13.3

Подставим значение

$x$ в уравнение.

$y = (3) \cdot (0) + b$

Этап 13.4

Подставим значение

$y$ в уравнение.

$34 = (3) \cdot (0) + b$

Этап 13.5

Найдем значение

$b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем уравнение в виде

$(3) \cdot (0) + b = 34$ .

$(3) \cdot (0) + b = 34$

Этап 13.5.2

Упростим

$(3) \cdot (0) + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Умножим

$3$ на

$0$ .

$0 + b = 34$

Этап 13.5.2.2

Добавим

$0$ и

$b$ .

$b = 34$

Этап 14

Теперь, когда известны значения

$m$ (углового коэффициента) и

$b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в

$y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 3 x + 34$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу