Математический анализ Примеры

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Этап 1

Запишем $7 x^{2} + 3 x$ в виде функции.

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Этап 2.1.2.2

Добавим $7$ и $3$ .

$f (1) = 10$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 2.2

Поскольку $10 = 10$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.5

Умножим $2$ на $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.2.2

Перенесем $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $14 h x$ и $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Этап 7.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 7.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 7.1.4

Вычтем $7 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Этап 7.1.5

Добавим $7 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Этап 7.1.6

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 7.1.7

Добавим $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8

Вынесем множитель $h$ из $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $7 h + 14 x + 3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Этап 7.2.2

Изменим порядок $7 h$ и $14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.2

Найдем предел $14 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Этап 9

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $7$ на $0$ .

$14 x + 0 + 3$

Этап 10.2

Добавим $14 x$ и $0$ .

$14 x + 3$

Этап 11

Упростим $14 (1) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $14$ на $1$ .

$m = 14 + 3$

Этап 11.2

Добавим $14$ и $3$ .

$m = 17$

Этап 12

Угловой коэффициент равен $m = 17$ , а точка ― $(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Этап 13

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 13.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (17) \cdot x + b$

Этап 13.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Этап 13.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Этап 13.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем уравнение в виде $(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Этап 13.5.2

Умножим $17$ на $1$ .

$17 + b = 10$

Этап 13.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.3.1

Вычтем $17$ из обеих частей уравнения.

$b = 10 - 17$

Этап 13.5.3.2

Вычтем $17$ из $10$ .

$b = - 7$

Этап 14

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 17 x - 7$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу