Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{2} + 3 x$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 3$

Этап 2.1.2.2

Добавим $3$ и $3$ .

$f (1) = 6$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 2.2

Поскольку $6 = 6$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.2.2

Перенесем $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $6 h x$ и $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 7.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 7.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Этап 7.1.5

Добавим $3 h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Этап 7.1.6

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 7.1.7

Добавим $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.2

Вынесем множитель $3 h$ из $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.3

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.8.4

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.8.5

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Этап 7.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $3 (h + 2 x + 1)$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Этап 7.4

Изменим порядок $3 h$ и $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.2

Найдем предел $6 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Этап 8.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Этап 9

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $3$ на $0$ .

$6 x + 0 + 3$

Этап 10.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$6 x + 3$

Этап 11

Упростим $6 (1) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $6$ на $1$ .

$m = 6 + 3$

Этап 11.2

Добавим $6$ и $3$ .

$m = 9$

Этап 12

Угловой коэффициент равен $m = 9$ , а точка ― $(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Этап 13

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 13.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (9) \cdot x + b$

Этап 13.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Этап 13.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Этап 13.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем уравнение в виде $(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Этап 13.5.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + b = 6$

Этап 13.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.3.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$b = 6 - 9$

Этап 13.5.3.2

Вычтем $9$ из $6$ .

$b = - 3$

Этап 14

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 9 x - 3$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу