Математический анализ Примеры

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(1, 7)$

Этап 1

Запишем

$y = 3 x^{3} + x + 3$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ в точке

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим

$3$ на

$1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Этап 2.1.2.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Добавим

$3$ и

$1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим

$4$ и

$3$ .

$f (1) = 7$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ:

$7$ .

$7$

Этап 2.2

Поскольку

$7 = 7$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$

$=$ Производная от

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в

$x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$x + h$ .

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.3.1

Умножим

$3$ на

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.3.2

Умножим

$3$ на

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.1.2.3

Окончательный ответ:

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем

$x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2.2

Перенесем

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Этап 5.2.3

Перенесем

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.4

Перенесем

$3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.5

Перенесем

$9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.2.6

Изменим порядок

$9 h^{2} x$ и

$3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 7.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Этап 7.1.3

Вычтем

$3 x^{3}$ из

$3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Этап 7.1.4

Добавим

$3 h^{3}$ и

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Этап 7.1.5

Вычтем

$x$ из

$x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Этап 7.1.6

Добавим

$3 h^{3}$ и

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Этап 7.1.7

Вычтем

$3$ из

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Этап 7.1.8

Добавим

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ и

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9

Вынесем множитель

$h$ из

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Вынесем множитель

$h$ из

$3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9.2

Вынесем множитель

$h$ из

$9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Этап 7.1.9.3

Вынесем множитель

$h$ из

$9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Этап 7.1.9.4

Возведем

$h$ в степень

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Этап 7.1.9.5

Вынесем множитель

$h$ из

$h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.6

Вынесем множитель

$h$ из

$h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.7

Вынесем множитель

$h$ из

$h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Этап 7.1.9.8

Вынесем множитель

$h$ из

$h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим

$3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ на

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перенесем

$h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Этап 7.2.2.2

Перенесем

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Этап 7.2.2.3

Изменим порядок

$9 x h$ и

$9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

$h$ к

$0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 9

Найдем предел

$9 x^{2}$ , который является константой по мере приближения

$h$ к

$0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 10

Вынесем член

$9 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 11

Вынесем член

$3$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 12

Вынесем степень

$2$ в выражении

$h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Этап 13

Найдем предел

$1$ , который является константой по мере приближения

$h$ к

$0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение

$0$ для всех вхождений

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел

$h$ , подставив значение

$0$ для

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Этап 14.2

Найдем предел

$h$ , подставив значение

$0$ для

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим

$9 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Умножим

$0$ на

$9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15.1.1.2

Умножим

$0$ на

$x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Этап 15.1.2

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Этап 15.1.3

Умножим

$3$ на

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Этап 15.2

Объединим противоположные члены в

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим

$9 x^{2}$ и

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Этап 15.2.2

Добавим

$9 x^{2}$ и

$0$ .

$9 x^{2} + 1$

Этап 16

Найдем угловой коэффициент

$m$ . В этом случае

$m = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Избавимся от скобок.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Этап 16.2

Упростим

$9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Этап 16.2.1.2

Умножим

$9$ на

$1$ .

$m = 9 + 1$

Этап 16.2.2

Добавим

$9$ и

$1$ .

$m = 10$

Этап 17

Угловой коэффициент равен

$m = 10$ , а точка ―

$(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Этап 18

Найдем значение

$b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем

$b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 18.2

Подставим значение

$m$ в уравнение.

$y = (10) \cdot x + b$

Этап 18.3

Подставим значение

$x$ в уравнение.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Этап 18.4

Подставим значение

$y$ в уравнение.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Этап 18.5

Найдем значение

$b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Перепишем уравнение в виде

$(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Этап 18.5.2

Умножим

$10$ на

$1$ .

$10 + b = 7$

Этап 18.5.3

Перенесем все члены без

$b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.3.1

Вычтем

$10$ из обеих частей уравнения.

$b = 7 - 10$

Этап 18.5.3.2

Вычтем

$10$ из

$7$ .

$b = - 3$

Этап 19

Теперь, когда известны значения

$m$ (углового коэффициента) и

$b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в

$y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 10 x - 3$

Этап 20

Введите СВОЮ задачу