Математический анализ Примеры

y' + 2 y = 0

$y' + 2 y = 0$ ,

y = 3 e^{- 2 x}

$y = 3 e^{- 2 x}$

Этап 1

Найдем

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Этап 1.2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

3 e^{- 2 x}

$3 e^{- 2 x}$ по

x

$x$ равна

3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = - 2 x

$g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

- 2 x

$- 2 x$ .

3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

- 2 x

$- 2 x$ .

3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2 x

$- 2 x$ по

x

$x$ равна

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Умножим

- 2

$- 2$ на

3

$3$ .

- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

- 6 e^{- 2 x} \cdot 1

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 1.3.3.4

Умножим

- 6

$- 6$ на

1

$1$ .

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = - 6 e^{- 2 x}

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

y' = - 6 e^{- 2 x}

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Этап 2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Этап 3.2

Добавим

- 6 e^{- 2 x}

$- 6 e^{- 2 x}$ и

6 e^{- 2 x}

$6 e^{- 2 x}$ .

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Этап 4

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

y = 3 e^{- 2 x}

$y = 3 e^{- 2 x}$ является решением уравнения

y' + 2 y = 0

$y' + 2 y = 0$

Введите СВОЮ задачу