Математический анализ Примеры

Подставим значения ${\displaystyle (1,1)}$ в ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x^2{y}^2}$.

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения ${\displaystyle x}$ точки ${\displaystyle (1,1)}$.

Зададим частную производную.

Поскольку ${\displaystyle 2x^2}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle 2x^2{y}^2}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle 2x^2\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 2}$.

Подставим ${\displaystyle 1}$ вместо ${\displaystyle y}$.

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения ${\displaystyle y}$ точки ${\displaystyle (1,1)}$.