Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ ,

y (1) = 1

$y (1) = 1$

Этап 1

Предположим, что

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Этап 2

Проверим непрерывность функции в окрестности

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения

(1, 1)

$(1, 1)$ в

\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим

1

$1$ вместо

x

$x$ .

2 \cdot 1^{3} y

$2 \cdot 1^{3} y$

Этап 2.1.2

Подставим

1

$1$ вместо

y

$y$ .

2 \cdot 1^{3} \cdot 1

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

2 \cdot 1^{3} \cdot 1

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

Этап 2.2

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения

x

$x$ точки

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Непрерывные

Этап 3

Найдем частную производную по

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим частную производную.

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Этап 3.2

Поскольку

2 x^{3}

$2 x^{3}$ является константой относительно

y

$y$ , производная

2 x^{3} y

$2 x^{3} y$ по

y

$y$ равна

2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

Этап 4

Проверим непрерывность частной производной по

y

$y$ в окрестности

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

y

$y$ точки

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Непрерывные

Этап 5

И функция, и ее частная производная по

y

$y$ непрерывны на открытом интервале в окрестности значения

x

$x$ точки

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Одно единственное решение

Введите СВОЮ задачу