Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ ,

$(1, 1)$

Этап 1

Предположим, что

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Этап 2

Проверим непрерывность функции в окрестности

$(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения

$(1, 1)$ в

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим

$1$ вместо

$x$ .

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

Этап 2.1.2

Подставим

$1$ вместо

$y$ .

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

Этап 2.2

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения

$x$ точки

$(1, 1)$ .

Непрерывные

Этап 3

Найдем частную производную по

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим частную производную.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку

$2 x^{2}$ является константой относительно

$y$ , производная

$2 x^{2} y^{2}$ по

$y$ равна

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

$n y^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

Этап 3.4

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

Этап 4

Проверим непрерывность частной производной по

$y$ в окрестности

$(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим

$1$ вместо

$y$ .

$4 x^{2} \cdot 1$

Этап 4.2

$y$ точки

$(1, 1)$ .

Непрерывные

Этап 5

И функция, и ее частная производная по

$y$ непрерывны на открытом интервале в окрестности значения

$x$ точки

$(1, 1)$ .

Одно единственное решение

Введите СВОЮ задачу