Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} + tan (x) y = 1

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ , где

P (x) = tan (x)

$P (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

e^{\int tan (x) d x}

$e^{\int \tan (x) d x}$

Этап 1.2

Интеграл

tan (x)

$\tan (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| sec (x) |)

$\ln (| \sec (x) |)$ .

e^{ln (| sec (x) |) + C}

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

e^{ln (sec (x))}

$e^{\ln (\sec (x))}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

sec (x)

$\sec (x)$

sec (x)

$\sec (x)$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель

sec (x)

$\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на

sec (x)

$\sec (x)$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) (tan (x) y) = sec (x) \cdot 1

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

Этап 2.2

Умножим

sec (x)

$\sec (x)$ на

1

$1$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) tan (x) y = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в

sec (x) \frac{d y}{d x} + sec (x) tan (x) y = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ .

sec (x) \frac{d y}{d x} + y sec (x) tan (x) = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

sec (x) \frac{d y}{d x} + y sec (x) tan (x) = sec (x)

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

\frac{d}{d x} [sec (x) y] = sec (x)

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

\int \frac{d}{d x} [sec (x) y] d x = \int sec (x) d x

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

sec (x) y = \int sec (x) d x

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

Этап 6

Интеграл

sec (x)

$\sec (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| sec (x) + tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Этап 7

Разделим каждый член

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ на

sec (x)

$\sec (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член

sec (x) y = ln (| sec (x) + tan (x) |) + C

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ на

sec (x)

$\sec (x)$ .

\frac{sec (x) y}{sec (x)} = \frac{ln (| sec (x) + tan (x) |)}{sec (x)} + \frac{C}{sec (x)}

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель

$\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.2.1.2

Разделим

$y$ на

$1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.2

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.4

Умножим

$\cos (x)$ на

$1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.5

Разделим

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ на

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.6

Разделим дроби.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Этап 7.3.1.7

Выразим

$\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 7.3.1.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Этап 7.3.1.9

Умножим

$\cos (x)$ на

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Этап 7.3.1.10

Разделим

$C$ на

$1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

Введите СВОЮ задачу