Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле

$e^{\int P (x) d x}$ , где

$P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок

$e^{x}$ и

$\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = \sin (x)$ и

$d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 6.3

Изменим порядок

$e^{x}$ и

$\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Этап 6.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = \cos (x)$ и

$d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Этап 6.5

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6.2

Умножим

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на

$1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 6.7

Найдя решение для

$\int e^{x} \sin (x) d x$ , получим

$\int e^{x} \sin (x) d x$ =

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Этап 6.8

Перепишем

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ в виде

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.2

Умножим

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим

$\sin (x)$ и

$\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.2.2

Объединим

$\frac{\sin (x)}{2}$ и

$e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.3

Умножим

$\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Этап 7.1.3.2

Объединим

$e^{x}$ и

$\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Этап 7.1.4

Изменим порядок множителей в

$\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ на

$e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ на

$e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим

$y$ на

$1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.2

Объединим.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.3

Сократим общий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.4

Умножим

$\sin (x)$ на

$1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6

Сократим общий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ в числитель.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.2

Вынесем множитель

$e^{x}$ из

$- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Введите СВОЮ задачу