Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Этап 2.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Этап 2.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 6.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 6.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 6.5

Упростим.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 6.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{2} e^{x}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Введите СВОЮ задачу