Математический анализ Примеры
x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy
Этап 1
Этап 1.1
Разделим каждый член x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy на xx и упростим.
Этап 1.1.1
Разделим каждый член x⋅dydx=y+√xyx⋅dydx=y+√xy на xx.
x⋅dydxx=yx+√xyxx⋅dydxx=yx+√xyx
Этап 1.1.2
Упростим левую часть.
Этап 1.1.2.1
Сократим общий множитель xx.
Этап 1.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Этап 1.1.2.1.2
Разделим dydx на 1.
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
Этап 1.2
Предположим, что √x2=x.
dydx=yx+√xy√x2
Этап 1.3
Объединим √xy и √x2 под одним знаком корня.
dydx=yx+√xyx2
Этап 1.4
Сократим выражение xyx2 путем отбрасывания общих множителей.
Этап 1.4.1
Вынесем множитель x из xy.
dydx=yx+√x(y)x2
Этап 1.4.2
Вынесем множитель x из x2.
dydx=yx+√x(y)x⋅x
Этап 1.4.3
Сократим общий множитель.
dydx=yx+√xyx⋅x
Этап 1.4.4
Перепишем это выражение.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
Этап 2
Пусть V=yx. Подставим V вместо yx.
dydx=V+√V
Этап 3
Решим V=yx относительно y.
y=Vx
Этап 4
Применим правило умножения, чтобы найти производную y=Vx по x.
dydx=xdVdx+V
Этап 5
Подставим xdVdx+V вместо dydx.
xdVdx+V=V+√V
Этап 6
Этап 6.1
Разделим переменные.
Этап 6.1.1
Решим относительно dVdx.
Этап 6.1.1.1
Перенесем все члены без dVdx в правую часть уравнения.
Этап 6.1.1.1.1
Вычтем V из обеих частей уравнения.
xdVdx=V+√V-V
Этап 6.1.1.1.2
Объединим противоположные члены в V+√V-V.
Этап 6.1.1.1.2.1
Вычтем V из V.
xdVdx=0+√V
Этап 6.1.1.1.2.2
Добавим 0 и √V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
Этап 6.1.1.2
Разделим каждый член xdVdx=√V на x и упростим.
Этап 6.1.1.2.1
Разделим каждый член xdVdx=√V на x.
xdVdxx=√Vx
Этап 6.1.1.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.1.1.2.2.1
Сократим общий множитель x.
Этап 6.1.1.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
xdVdxx=√Vx
Этап 6.1.1.2.2.1.2
Разделим dVdx на 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
Этап 6.1.2
Умножим обе части на 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Этап 6.1.3
Сократим общий множитель √V.
Этап 6.1.3.1
Сократим общий множитель.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Этап 6.1.3.2
Перепишем это выражение.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
Этап 6.1.4
Перепишем уравнение.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
Этап 6.2
Проинтегрируем обе части.
Этап 6.2.1
Зададим интеграл на каждой стороне.
∫1√VdV=∫1xdx
Этап 6.2.2
Проинтегрируем левую часть.
Этап 6.2.2.1
Применим основные правила для показателей степени.
Этап 6.2.2.1.1
С помощью n√ax=axn запишем √V в виде V12.
∫1V12dV=∫1xdx
Этап 6.2.2.1.2
Вынесем V12 из знаменателя, возведя в -1 степень.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
Этап 6.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в (V12)-1.
Этап 6.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
Этап 6.2.2.1.3.2
Объединим 12 и -1.
∫V-12dV=∫1xdx
Этап 6.2.2.1.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
Этап 6.2.2.2
По правилу степени интеграл V-12 по V имеет вид 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
Этап 6.2.3
Интеграл 1x по x имеет вид ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Этап 6.2.4
Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Этап 6.3
Решим относительно V.
Этап 6.3.1
Разделим каждый член 2V12=ln(|x|)+C на 2 и упростим.
Этап 6.3.1.1
Разделим каждый член 2V12=ln(|x|)+C на 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Этап 6.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 6.3.1.2.1
Сократим общий множитель.
2V122=ln(|x|)2+C2
Этап 6.3.1.2.2
Разделим V12 на 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Этап 6.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 6.3.1.3.1
Упростим каждый член.
Этап 6.3.1.3.1.1
Перепишем ln(|x|)2 в виде 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Этап 6.3.1.3.1.2
Упростим 12ln(|x|) путем переноса 12 под логарифм.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Этап 6.3.2
Возведем обе части уравнения в степень 2, чтобы исключить дробный показатель в левой части.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Этап 6.3.3
Упростим левую часть.
Этап 6.3.3.1
Упростим (V12)2.
Этап 6.3.3.1.1
Перемножим экспоненты в (V12)2.
Этап 6.3.3.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Этап 6.3.3.1.1.2
Сократим общий множитель 2.
Этап 6.3.3.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Этап 6.3.3.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Этап 6.3.3.1.2
Упростим.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Этап 6.4
Упростим постоянную интегрирования.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Этап 7
Подставим yx вместо V.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Этап 8
Этап 8.1
Умножим обе части на x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Этап 8.2
Упростим.
Этап 8.2.1
Упростим левую часть.
Этап 8.2.1.1
Сократим общий множитель x.
Этап 8.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Этап 8.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Этап 8.2.2
Упростим правую часть.
Этап 8.2.2.1
Изменим порядок множителей в (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2