Математический анализ Примеры
dydx=yx-(yx)2dydx=yx−(yx)2
Этап 1
Пусть V=yxV=yx. Подставим VV вместо yxyx.
dydx=V-V2dydx=V−V2
Этап 2
Решим V=yxV=yx относительно yy.
y=Vxy=Vx
Этап 3
Применим правило умножения, чтобы найти производную y=Vxy=Vx по xx.
dydx=xdVdx+Vdydx=xdVdx+V
Этап 4
Подставим xdVdx+VxdVdx+V вместо dydxdydx.
xdVdx+V=V-V2xdVdx+V=V−V2
Этап 5
Этап 5.1
Разделим переменные.
Этап 5.1.1
Решим относительно dVdxdVdx.
Этап 5.1.1.1
Перенесем все члены без dVdxdVdx в правую часть уравнения.
Этап 5.1.1.1.1
Вычтем VV из обеих частей уравнения.
xdVdx=V-V2-VxdVdx=V−V2−V
Этап 5.1.1.1.2
Объединим противоположные члены в V-V2-VV−V2−V.
Этап 5.1.1.1.2.1
Вычтем VV из VV.
xdVdx=-V2+0xdVdx=−V2+0
Этап 5.1.1.1.2.2
Добавим -V2−V2 и 00.
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
Этап 5.1.1.2
Разделим каждый член xdVdx=-V2xdVdx=−V2 на xx и упростим.
Этап 5.1.1.2.1
Разделим каждый член xdVdx=-V2xdVdx=−V2 на xx.
xdVdxx=-V2xxdVdxx=−V2x
Этап 5.1.1.2.2
Упростим левую часть.
Этап 5.1.1.2.2.1
Сократим общий множитель xx.
Этап 5.1.1.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
xdVdxx=-V2x
Этап 5.1.1.2.2.1.2
Разделим dVdx на 1.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Этап 5.1.1.2.3
Упростим правую часть.
Этап 5.1.1.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Этап 5.1.2
Умножим обе части на 1V2.
1V2dVdx=1V2(-V2x)
Этап 5.1.3
Упростим.
Этап 5.1.3.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Этап 5.1.3.2
Сократим общий множитель V2.
Этап 5.1.3.2.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в -1V2 в числитель.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Этап 5.1.3.2.2
Сократим общий множитель.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Этап 5.1.3.2.3
Перепишем это выражение.
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
Этап 5.1.4
Перепишем уравнение.
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
Этап 5.2
Проинтегрируем обе части.
Этап 5.2.1
Зададим интеграл на каждой стороне.
∫1V2dV=∫-1xdx
Этап 5.2.2
Проинтегрируем левую часть.
Этап 5.2.2.1
Применим основные правила для показателей степени.
Этап 5.2.2.1.1
Вынесем V2 из знаменателя, возведя в -1 степень.
∫(V2)-1dV=∫-1xdx
Этап 5.2.2.1.2
Перемножим экспоненты в (V2)-1.
Этап 5.2.2.1.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, (am)n=amn.
∫V2⋅-1dV=∫-1xdx
Этап 5.2.2.1.2.2
Умножим 2 на -1.
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
Этап 5.2.2.2
По правилу степени интеграл V-2 по V имеет вид -V-1.
-V-1+C1=∫-1xdx
Этап 5.2.2.3
Перепишем -V-1+C1 в виде -1V+C1.
-1V+C1=∫-1xdx
-1V+C1=∫-1xdx
Этап 5.2.3
Проинтегрируем правую часть.
Этап 5.2.3.1
Поскольку -1 — константа по отношению к x, вынесем -1 из-под знака интеграла.
-1V+C1=-∫1xdx
Этап 5.2.3.2
Интеграл 1x по x имеет вид ln(|x|).
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
Этап 5.2.3.3
Упростим.
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
Этап 5.2.4
Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как C.
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
Этап 5.3
Решим относительно V.
Этап 5.3.1
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 5.3.1.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
V,1,1
Этап 5.3.1.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
V
V
Этап 5.3.2
Каждый член в -1V=-ln(|x|)+C умножим на V, чтобы убрать дроби.
Этап 5.3.2.1
Умножим каждый член -1V=-ln(|x|)+C на V.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Этап 5.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.2.2.1
Сократим общий множитель V.
Этап 5.3.2.2.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в -1V в числитель.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Этап 5.3.2.2.1.2
Сократим общий множитель.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Этап 5.3.2.2.1.3
Перепишем это выражение.
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
Этап 5.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 5.3.2.3.1
Изменим порядок множителей в -ln(|x|)V+CV.
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
Этап 5.3.3
Решим уравнение.
Этап 5.3.3.1
Перепишем уравнение в виде -Vln(|x|)+CV=-1.
-Vln(|x|)+CV=-1
Этап 5.3.3.2
Вынесем множитель V из -Vln(|x|)+CV.
Этап 5.3.3.2.1
Вынесем множитель V из -Vln(|x|).
V(-1ln(|x|))+CV=-1
Этап 5.3.3.2.2
Вынесем множитель V из CV.
V(-1ln(|x|))+VC=-1
Этап 5.3.3.2.3
Вынесем множитель V из V(-1ln(|x|))+VC.
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
Этап 5.3.3.3
Перепишем -1ln(|x|) в виде -ln(|x|).
V(-ln(|x|)+C)=-1
Этап 5.3.3.4
Разделим каждый член V(-ln(|x|)+C)=-1 на -ln(|x|)+C и упростим.
Этап 5.3.3.4.1
Разделим каждый член V(-ln(|x|)+C)=-1 на -ln(|x|)+C.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Этап 5.3.3.4.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.3.4.2.1
Сократим общий множитель -ln(|x|)+C.
Этап 5.3.3.4.2.1.1
Сократим общий множитель.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Этап 5.3.3.4.2.1.2
Разделим V на 1.
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
Этап 5.3.3.4.3
Упростим правую часть.
Этап 5.3.3.4.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
V=-1-ln(|x|)+C
Этап 5.3.3.4.3.2
Вынесем множитель -1 из -ln(|x|).
V=-1-(ln(|x|))+C
Этап 5.3.3.4.3.3
Вынесем множитель -1 из C.
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
Этап 5.3.3.4.3.4
Вынесем множитель -1 из -(ln(|x|))-1(-C).
V=-1-(ln(|x|)-C)
Этап 5.3.3.4.3.5
Упростим выражение.
Этап 5.3.3.4.3.5.1
Перепишем -(ln(|x|)-C) в виде -1(ln(|x|)-C).
V=-1-1(ln(|x|)-C)
Этап 5.3.3.4.3.5.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
V=--1ln(|x|)-C
Этап 5.3.3.4.3.5.3
Умножим -1 на -1.
V=11ln(|x|)-C
Этап 5.3.3.4.3.5.4
Умножим 1ln(|x|)-C на 1.
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
Этап 5.4
Упростим постоянную интегрирования.
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
Этап 6
Подставим yx вместо V.
yx=1ln(|x|)+C
Этап 7
Этап 7.1
Умножим обе части на x.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Этап 7.2
Упростим.
Этап 7.2.1
Упростим левую часть.
Этап 7.2.1.1
Сократим общий множитель x.
Этап 7.2.1.1.1
Сократим общий множитель.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Этап 7.2.1.1.2
Перепишем это выражение.
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
Этап 7.2.2
Упростим правую часть.
Этап 7.2.2.1
Объединим 1ln(|x|)+C и x.
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C