Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}$

Этап 1

Пусть

$V = \frac{y}{x}$ . Подставим

$V$ вместо

$\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - V^{2}$

Этап 2

Решим

$V = \frac{y}{x}$ относительно

$y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную

$y = V x$ по

$x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим

$x \frac{d V}{d x} + V$ вместо

$\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно

$\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без

$\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем

$V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

Этап 5.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в

$V - V^{2} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.2.1

Вычтем

$V$ из

$V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

Этап 5.1.1.1.2.2

Добавим

$- V^{2}$ и

$0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ на

$x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ на

$x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим

$\frac{d V}{d x}$ на

$1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Этап 5.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на

$\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель

$V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{V^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 5.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Этап 5.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 5.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Вынесем

$V^{2}$ из знаменателя, возведя в

$- 1$ степень.

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в

${(V^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

По правилу степени интеграл

$V^{- 2}$ по

$V$ имеет вид

$- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.3

Перепишем

$- V^{- 1} + C_{1}$ в виде

$- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3.2

Интеграл

$\frac{1}{x}$ по

$x$ имеет вид

$\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 5.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

$C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

Этап 5.3

Решим относительно

$V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$V, 1, 1$

Этап 5.3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$V$

Этап 5.3.2

Каждый член в

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ умножим на

$V$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим каждый член

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ на

$V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель

$V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{V}$ в числитель.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Этап 5.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Этап 5.3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Изменим порядок множителей в

$- \ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

Этап 5.3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем уравнение в виде

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель

$V$ из

$- V \ln (| x |) + C V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель

$V$ из

$- V \ln (| x |)$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель

$V$ из

$C V$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель

$V$ из

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

Этап 5.3.3.3

Перепишем

$- 1 \ln (| x |)$ в виде

$- \ln (| x |)$ .

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

Этап 5.3.3.4

Разделим каждый член

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ на

$- \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Разделим каждый член

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ на

$- \ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Этап 5.3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.1

Сократим общий множитель

$- \ln (| x |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Этап 5.3.3.4.2.1.2

Разделим

$V$ на

$1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Этап 5.3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

Этап 5.3.3.4.3.2

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- \ln (| x |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

Этап 5.3.3.4.3.3

Вынесем множитель

$- 1$ из

$C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

Этап 5.3.3.4.3.4

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

Этап 5.3.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.3.5.1

Перепишем

$- (\ln (| x |) - C)$ в виде

$- 1 (\ln (| x |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

Этап 5.3.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.3.3.4.3.5.3

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.3.3.4.3.5.4

Умножим

$\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ на

$1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 6

Подставим

$\frac{y}{x}$ вместо

$V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Этап 7

Решим

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на

$x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим

$\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ и

$x$ .

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$

Введите СВОЮ задачу