Математический анализ Примеры

(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0

$(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ , где

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем

M

$M$ по

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная

2 x + y

$2 x + y$ по

y

$y$ имеет вид

\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Поскольку

2 x

$2 x$ является константой относительно

y

$y$ , производная

2 x

$2 x$ относительно

y

$y$ равна

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Этап 1.5

Добавим

0

$0$ и

1

$1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ , где

N (x, y) = x + 1

$N (x, y) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем

N

$N$ по

x

$x$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная

x + 1

$x + 1$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Поскольку

1

$1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

1

$1$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 2.5

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

1

$1$ вместо

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ , а

1

$1$ вместо

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

1 = 1

$1 = 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

1 = 1

$1 = 1$ является тождеством.

1 = 1

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем

f (x, y)

$f (x, y)$ к интегралу

M (x, y)

$M (x, y)$ .

f (x, y) = \int 2 x + y d x

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Этап 5

Проинтегрируем

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ , чтобы найти

f (x, y)

$f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Этап 5.2

Поскольку

2

$2$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

2

$2$ из-под знака интеграла.

f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл

x

$x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Этап 5.5

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Этап 5.6

Упростим.

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Этап 6

Так как интеграл

g (y)

$g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить

C

$C$ на

g (y)

$g (y)$ .

f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Этап 7

Зададим

\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1$

Этап 8

Найдем

\frac{\partial f}{\partial y}

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем

f

$f$ по

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная

x^{2} + y x + g (y)

$x^{2} + y x + g (y)$ по

y

$y$ имеет вид

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Этап 8.2.2

Поскольку

x^{2}

$x^{2}$ является константой относительно

y

$y$ , производная

x^{2}

$x^{2}$ относительно

y

$y$ равна

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Этап 8.3

Найдем значение

\frac{d}{d y} [y x]

$\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку

x

$x$ является константой относительно

y

$y$ , производная

y x

$y x$ по

y

$y$ равна

x \frac{d}{d y} [y]

$x \frac{d}{d y} [y]$ .

0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Этап 8.3.3

Умножим

x

$x$ на

1

$1$ .

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от

g (y)

$g (y)$ равна

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ .

0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим

0

$0$ и

x

$x$ .

x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

Этап 9

Решим относительно

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем

x

$x$ из обеих частей уравнения.

\frac{d g}{d y} = x + 1 - x

$\frac{d g}{d y} = x + 1 - x$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в

x + 1 - x

$x + 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем

x

$x$ из

x

$x$ .

\frac{d g}{d y} = 0 + 1

$\frac{d g}{d y} = 0 + 1$

Этап 9.1.2.2

Добавим

0

$0$ и

1

$1$ .

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

Этап 10

Найдем первообразную

1

$1$ , чтобы найти

g (y)

$g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$ .

\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Этап 10.2

Найдем значение

\int \frac{d g}{d y} d y

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

g (y) = \int d y

$g (y) = \int d y$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

g (y) = y + C

$g (y) = y + C$

g (y) = y + C

$g (y) = y + C$

Этап 11

Подставим выражение для

g (y)

$g (y)$ в

f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

f (x, y) = x^{2} + y x + y + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + y + C$

Введите СВОЮ задачу