Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть

$v = y^{1 - n}$ , где

$n$ — показатель степени

$y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Этап 2

Решим уравнение относительно

$y$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 3

Возьмем производную

$y$ по

$x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную

$v^{- 1}$ по

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от

$v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

$f (x) = 1$ и

$g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим

$v$ на

$0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем

$\frac{d}{d x} [v]$ из

$0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем

$\frac{d}{d x} [v]$ в виде

$v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 5

Подставим

$- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо

$\frac{d y}{d x}$ и

$v^{- 1}$ вместо

$y$ в исходное уравнение

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде

$M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Каждый член в

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на

$- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Умножим каждый член

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ на

$- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель

$v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель

$v^{2}$ из

$- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.3

Умножим

$\frac{d v}{d x}$ на

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.4

Умножим

$v^{- 1}$ на

$v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1.4.1

Перенесем

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.4.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.4.3

Вычтем

$1$ из

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.5

Упростим

$2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Этап 6.1.1.1.3.2

Перемножим экспоненты в

${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Этап 6.1.1.1.3.2.2

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Этап 6.1.1.1.3.3

Умножим

$v^{- 2}$ на

$v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.3.1

Перенесем

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Этап 6.1.1.1.3.3.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Этап 6.1.1.1.3.3.3

Вычтем

$2$ из

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Этап 6.1.1.1.3.4

Упростим

$- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Этап 6.1.1.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель

$v$ из

$- 2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Этап 6.1.3

Изменим порядок

$v$ и

$- 2 x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле

$e^{\int P (x) d x}$ , где

$P (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 x d x}$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем

$- 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку

$- 2$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 \int x d x}$

Этап 6.2.2.2

По правилу степени интеграл

$x$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 6.2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перепишем

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде

$- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Объединим

$- 2$ и

$\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель

$- 2$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Этап 6.2.2.3.2.2.2.4

Разделим

$- 1$ на

$1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x^{2}}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель

$e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на

$e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Этап 6.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Этап 6.7.2

Пусть

$u_{1} = - x^{2}$ . Тогда

$d u_{1} = - 2 x d x$ , следовательно

$- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя

$u_{1}$ и

$d$

$u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Пусть

$u_{1} = - x^{2}$ . Найдем

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Дифференцируем

$- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 6.7.2.1.2

Поскольку

$- 1$ является константой относительно

$x$ , производная

$- x^{2}$ по

$x$ равна

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$- (2 x)$

Этап 6.7.2.1.4

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$- 2 x$

Этап 6.7.2.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{1}$ и

$d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Этап 6.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Этап 6.7.3.2

Объединим

$\sqrt{- u_{1}}$ и

$\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Этап 6.7.3.3

Объединим

$e^{u_{1}}$ и

$\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 6.7.4

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$u_{1}$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 6.7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 6.7.5.2

Умножим

$\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ на

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 6.7.6

Поскольку

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

$u_{1}$ , вынесем

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 6.7.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = e^{u_{1}}$ и

$d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.8.1

Объединим

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8.2

Объединим

$e^{u_{1}}$ и

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8.3

Перенесем

$2$ влево от

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8.4

Перенесем

$2$ влево от

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8.5

Объединим

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.8.6

Объединим

$e^{u_{1}}$ и

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.8.7

Перенесем

$2$ влево от

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.8.8

Перенесем

$2$ влево от

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.9

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$u_{1}$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.10.2

Умножим

$\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ на

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 6.7.11

Поскольку

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ — константа по отношению к

$u_{1}$ , вынесем

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 6.7.12

Интеграл

$e^{u_{1}}$ по

$u_{1}$ имеет вид

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Этап 6.7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.1

Перепишем

$\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ в виде

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.2.1

Объединим

$e^{u_{1}}$ и

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2.2

Объединим

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и

$\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2.3

Перенесем

$2$ влево от

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2.4

Перенесем

$2$ влево от

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2.5

Объединим

$\frac{2}{3}$ и

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Этап 6.7.13.2.6

Объединим

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ и

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Этап 6.7.13.2.7

Добавим

$- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ и

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Этап 6.7.13.2.8

Умножим

$\frac{1}{2}$ на

$0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Этап 6.7.13.2.9

Добавим

$0$ и

$C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Этап 6.8

Разделим каждый член

$e^{- x^{2}} v = C$ на

$e^{- x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член

$e^{- x^{2}} v = C$ на

$e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель

$e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим

$v$ на

$1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 7

Подставим

$y^{- 1}$ вместо

$v$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Введите СВОЮ задачу