Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ , где

n

$n$ — показатель степени

y^{2}

$y^{2}$ .

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

Этап 2

Решим уравнение относительно

y

$y$ .

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

Этап 3

Возьмем производную

y

$y$ по

x

$x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную

$v^{- 1}$ по

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от

$v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

$f (x) = 1$ и

$g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим

$v$ на

$0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем

$\frac{d}{d x} [v]$ из

$0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем

$\frac{d}{d x} [v]$ в виде

$v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 5

Подставим

$- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо

$\frac{d y}{d x}$ и

$v^{- 1}$ вместо

$y$ в исходное уравнение

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Каждый член в

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на

$- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим каждый член

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ на

$- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель

$v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель

$v^{2}$ из

$- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим

$\frac{d v}{d x}$ на

$1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5

Умножим

$v^{- 1}$ на

$v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.5.1

Перенесем

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5.3

Вычтем

$1$ из

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.6

Упростим

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.7

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.8

Умножим

$v$ на

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Этап 6.1.3.2

Перемножим экспоненты в

${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Этап 6.1.3.2.2

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

Этап 6.1.3.3

Умножим

$v^{- 2}$ на

$v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Перенесем

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

Этап 6.1.3.3.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

Этап 6.1.3.3.3

Вычтем

$2$ из

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

Этап 6.1.3.4

Упростим

$- e^{x} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле

$e^{\int P (x) d x}$ , где

$P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

Этап 6.3.3

Умножим

$e^{x}$ на

$e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

Этап 6.3.3.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

Этап 6.3.3.3

Добавим

$x$ и

$x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

Этап 6.7.2

Пусть

$u = 2 x$ . Тогда

$d u = 2 d x$ , следовательно

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя

$u$ и

$d$

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Пусть

$u = 2 x$ . Найдем

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Дифференцируем

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.7.2.1.2

Поскольку

$2$ является константой относительно

$x$ , производная

$2 x$ по

$x$ равна

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.7.2.1.4

Умножим

$2$ на

$1$ .

$2$

Этап 6.7.2.2

Переформулируем задачу с помощью

$u$ и

$d u$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6.7.3

Объединим

$e^{u}$ и

$\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 6.7.4

Поскольку

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

$u$ , вынесем

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.5

Интеграл

$e^{u}$ по

$u$ имеет вид

$e^{u}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 6.7.6

Упростим.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 6.7.7

Заменим все вхождения

$u$ на

$2 x$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Этап 6.8

Разделим каждый член

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на

$e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на

$e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим

$v$ на

$1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1.1

Сократим общий множитель

$e^{2 x}$ и

$e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1.1.1

Вынесем множитель

$e^{x}$ из

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1.1.2.1

Умножим на

$1$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.1.2.4

Разделим

$- \frac{1}{2} e^{x}$ на

$1$ .

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.2

Объединим

$e^{x}$ и

$\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7

Подставим

$y^{- 1}$ вместо

$v$ .

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Введите СВОЮ задачу